指数函数

Exponential Function

• $a$ 为底数
• $x$ 为指数
  自然指数函数 $y=e^x$ 以 自然常数e 为底数
  与对数函数互为反函数

定义

复平面内定义一个函数 $f(z)$:

1. $f(z)$ 在复平面内处处解析
2. $f^{\prime }(z)=f(z)$
3. $\mathrm{当}Im(z)=y=0\mathrm{时}f(z)=e^x\mathrm{其}\mathrm{中}x=Re(z)$

$\exp z=e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$

等价关系式：

复数的指数形式

性质

加法定理：
$\exp z_1\cdot \exp z_2=\exp (z_1+z_2)$

周期性：
$f(z)=f(z+2k\pi i)$
$e^{z+2k\pi i}=e^z\cdot e^{{}^{2k\pi i}}=e^z$
周期为 $2\pi i$