复数

Complex number

起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现负数开平方的情况

虚数单位 $i$
定义： $i^{2} = - 1$
$i$ 的幂次在 $i - 1 - i 1$ 中循环

\begin{array}{r} i^{4 n} = 1 i^{4 n + 1} = i i^{4 n + 2} = - 1 i^{4 n + 3} = - i \end{array}

对于两实数 $x y$
$z = x + i y$
$i$ 为虚数单位

复数相等的充要条件：
实部和虚部分别相等

注意

这一充要条件似乎“天经地义”，“理所当然”
但实际上有很多用处

比如可以化简诸如 $\sqrt{5 + 12 i}, \sqrt{- i}$ 等根式
直接令 $\sqrt{5 + 12 i} = x + i y$
再利用复数相等，实部与虚部的相等，即可求得
$5 + 12 i = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$
(复数中无法定义大小关系)

\begin{aligned} z_{1} = x_{1} + i y_{1} z_{2} = x_{2} + i y_{2} \\ z_{1} \pm z_{2} = (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2}) \\ z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{2} y_{1} + x_{1} y_{2}) \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \bar{z_{2}}}{z_{2} \bar{z_{2}}} \end{aligned}

Conjugate
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数
$z = x + i y$
$\overset{―}{z} = x - i y$

\begin{aligned} z \cdot \overset{―}{z} & = (x + i y) (x - i y) \\ = x^{2} - (i y)^{2} \\ = x^{2} + y^{2} \\ = [R e (z)]^{2} + [I m (z)]^{2} \end{aligned}

两个共轭复数的积为一个实数
常常使用此来对分式进行化简
（上下同乘分母的共轭复数）
$z + \overset{―}{z} = 2 R e (z)$
$z - \overset{―}{z} = 2 i I m (z)$
$\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$

graph LR
几何表示---> 复平面 & 复球面

复数与复平面中的向量对应起来
复数可以表示平面向量，所以有关平面向量的问题可以用复变函数来研究

$z$ 对应向量 $\vec{O z}$

模： $∣ z ∣$ 为对应向量的长度
$∣ z ∣$ = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

辐角： $\vec{O z}$ 与实轴正向的夹角
$A r g$ 一般表示，不受限制地取辐角的任意值
$A r g z = θ$

$z = 0$ 模为 0，而辐角不确定

主辐角: 辐角的主值
辐角限制在 $- π$ 与 $π$ 之间

a r g z = {\begin{cases} \arctan \frac{y}{x} x > 0 \\ \frac{π}{2} x = 0, y > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + π x < 0, y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - π x < 0, y < 0 \\ - \frac{π}{2} x = 0, y < 0 \end{cases}

$a r g z \in (- π, π]$
$A r g z = a r g z + 2 k π$

三角表示： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$
指数表示： $z = r e^{i θ}$ （由欧拉公式）

注意

\begin{aligned} z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) = r_{1} e^{i θ_{1}} \\ z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) = r_{2} e^{i θ_{2}} \\ | z_{1} \cdot z_{2} | = r_{1} r_{2} \\ A r g (z_{1} \cdot z_{2}) = A r g z_{1} + A r g z_{2} \\ z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})} \\ | \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{r_{1}}{r_{2}} \\ A r g \frac{z_{1}}{z_{2}} = A r g z_{1} - A r g z_{2} \\ \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{1}} e^{i (θ_{2} - θ_{1})} \end{aligned}

几何意义
乘法：

除法：

De Moivre 公式

\begin{aligned} z^{n} & = [r (\cos θ + i \sin θ)]^{n} \\ = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ) \\ = r^{n} e^{i (n θ)} \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt[n]{z} & = [r (\cos θ + i \sin θ)]^{1 / n} \\ = r^{1 / n} [\cos (\frac{1}{n} (θ + 2 k π)) + i \sin (\frac{1}{n} (θ + 2 k π))] \\ = r^{1 / n} e^{i (\frac{1}{n} (θ + 2 k π))} \end{aligned}

$(k = 0, 1, 2 \dots, n - 1)$

注意开 $n$ 次根号有 $n$ 个值

例题：
解方程 $(1 + z)^{5} = (1 - z)^{5}$

$(\frac{1 + z}{1 - z})^{5} = 1 ω = \frac{1 + z}{1 - z}$
$ω = \sqrt[5]{1} ω = e^{i (0 + 2 k π) / 5} = e^{i α}$

\begin{aligned} z & = \frac{ω - 1}{ω + 1} = \frac{e^{i α} - 1}{e^{i α} + 1} \\ = \frac{\cos α + i \sin α - 1}{\cos α + i \sin α + 1} \\ = \frac{2 \sin \frac{α}{2} (- \sin \frac{α}{2} + i \cos \frac{α}{2})}{2 \cos \frac{α}{2} (\cos \frac{α}{2} + i \sin \frac{α}{2})} \\ = i \tan \frac{α}{2} \end{aligned}

所以根为：
$z_{0} = 0$
$z_{1} = i \tan \frac{π}{5}$
$z_{2} = i \tan \frac{2 π}{5}$
$z_{3} = i \tan \frac{3 π}{5}$
$z_{4} = i \tan \frac{4 π}{5}$