分部积分法

Integration By Parts

说明

\begin{aligned} \int u d v & = u v - \int v d u \end{aligned}

\begin{aligned} (u v)^{'} & = u^{'} v + u v^{'} \Rightarrow u v^{'} = (u v)^{'} - u^{'} v \end{aligned}

本质是将乘积的求导法则移项后，两边积分

\begin{aligned} (u v)^{'} & = u^{'} v + u v^{'} \Rightarrow u v^{'} = (u v)^{'} - u^{'} v \end{aligned}

如果 $u v^{'}$ 的积分较难求出，可以转化为 $u v$ 和 $u^{'} v$ 的积分

两个函数乘积的不定积分，求其中一个函数的原函数的优先级：
指数函数/三角函数>幂函数>对数函数/反三角函数

对于指数函数/三角函数和幂函数乘积的积分而言：

对于对数函数/反三角函数和幂函数乘积的积分而言：

如果一次分部积分无法得到结果，则按照情形一或二再次分部积分
注意每次分部积分要选取同类型的函数作为 $u$ 或 $v$

在分部积分的过程中，也要灵活使用换元积分法