反常积分

Improper Integral

说明

前置知识：极限连续
 定积分的两种推广
将积分区间推广到无穷区间
将被积函数推广为无界函数

变上限定积分的极限

\begin{array}{r} \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x \\ \int_{- \infty}^{b} f (x) d x = lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{b} f (x) d x \end{array}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{+ \infty} f (x) d x \end{array}

如果极限存在，反常积分进一步可表示。转化为原函数的趋于无穷的值是否存在：

\begin{array}{r} \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{+ \infty} \\ \int_{- \infty}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{- \infty}^{b} \\ \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = {[F (x)]}_{- \infty}^{+ \infty} \end{array}

瑕点：函数在瑕点的任一邻域内都无界，无界间断点