定积分的应用

定积分的元素法

如果所求量 $U$ 符合：与变量的变化区间 $[a, b]$ 有关，对于区间 $[a, b]$ 具有可加性，部分量 $Δ U_{i}$ 的近似值可表示为 $f (ξ_{i}) Δ x_{i}$

根据具体问题，选取积分变量 $x$ ，确定积分的变化区间 $[a, b]$
将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，任取一小区间 $[x, x + d x]$ , 求出该区间的部分量 $Δ U$ 的近似值 $d U = f (x) d x$
以所求量 $U$ 的元素 $d U$ 为被积表达式，在区间 $[a, b]$ 上作定积分，得到：

\begin{array}{r} U = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}

一、平面图形面积

1. 直角坐标系

高为 $f (x)$ ，底为 $d x$ 的矩形作为面积元素 $d A = f (x) d x$

\begin{array}{r} A = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}

2. 极坐标系

半径为 $ρ (θ)$ ，中心角为 $d θ$ 的扇形作为面积元素 $d A = \frac{1}{2} {[ρ (θ)]}^{2} d θ$

\begin{array}{r} A = \int_{α}^{β} \frac{1}{2} {[ρ (θ)]}^{2} d θ \end{array}

二、体积

1. 旋转体的体积

连续曲线 $y = f (x)$ 、直线 $x = a, x = b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体的体积

\begin{array}{r} V = \int_{a}^{b} π {[f (x)]}^{2} d x \end{array}

2. 平行截面面积已知的立体的体积

\begin{array}{r} V = \int_{a}^{b} A (x) d x \end{array}

三、平面曲线弧长

弧微分
光滑曲线弧是可求长的，且弧长元素： $d s = \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$

1. 参数方程

{\begin{cases} x = φ (t) \\ (α \leq t \leq β) \\ y = ψ (t) \end{cases}

\begin{array}{r} s = \int_{α}^{β} \sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)} d t \end{array}

2. 直角坐标方程

{\begin{cases} x = x \\ (a \leq x \leq b) \\ y = f (x) \end{cases}

\begin{array}{r} s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y^{' 2}} d x \end{array}

3. 极坐标方程

{\begin{cases} x = ρ (θ) \cos θ \\ (α \leq θ \leq β) \\ y = ρ (θ) \sin θ \end{cases}

\begin{array}{r} s = \int_{α}^{β} \sqrt{ρ^{2} (θ) + ρ^{' 2} (θ)} d θ \end{array}