导数

Derivative

导数的本质是极限, 是函数变化率的精确描述

在某点 $x_{0}$ 处的导数 $f^{'} (x_{0})$ 即为因变量（函数值）在 $x_{0}$ 处的变化率

\begin{aligned} y^{'} = f^{'} (x_{0}) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{aligned}

将导数定义中的 $x_{0}$ 换为 $x$ ，即得到导函数：

\begin{aligned} y^{'} = f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \end{aligned}

函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导的充分必要条件为：左右导数都存在并相等

\begin{aligned} f_{-}^{'} (x_{0}) & = lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \\ f_{+}^{'} (x_{0}) & = lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{aligned}

函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数 $f^{'} (x_{0})$ 在几何上表示在点 $M (x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线的斜率

在点 $M (x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线： $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
在点 $M (x_{0}, f (x_{0}))$ 处的法线： $y - y_{0} = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0})$

如果函数 $u = u (x)$ $v = v (x)$ 都在点 $x$ 具有导数
则它们的和、差、积、商都在 $x$ 具有导数

\begin{aligned} (u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'} \\ (u v)^{'} = u v^{'} + u^{'} v \\ (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} \end{aligned}

可推广到有限个可导函数的情况
$(u + v - w)^{'} = u^{'} + v^{'} - w^{'}$
$(u v w)^{'} = (u v)^{'} w + (u v) w^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + u v w^{'}$

[f^{- 1} (x)]^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\frac{Δ y}{Δ x}} = \frac{1}{f^{'} (y)}

$u = g (x)$ 在 $x$ 可导， $y = f (u)$ 在 $u = g (x)$ 可导
则复合函数 $y = f [g (x)]$ 在点 $x$ 处可导，导数为：

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \end{array}

复合函数求导时，要分析函数可看作哪些函数复合而成，见复合函数的求导法则

\begin{matrix} (x^{μ})^{'} = μ x^{μ - 1} \\ (a^{x})^{'} = a^{x} \ln a (e^{x})^{'} = e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a} (\ln x)^{'} = \frac{1}{x} \\ (\sin x)^{'} = \cos x (\cos x)^{'} = - \sin x \\ (\tan x)^{'} = \sec^{2} x (\cot x)^{'} = - \csc^{2} x \\ (\sec x)^{'} = \sec x \tan x (\csc x)^{'} = - \csc x \cot x \\ (\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ (\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} (a r c c o t x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}} \end{matrix}

注意

本节是建立在简单的实变意义下的一元的论述
多元变量的导数参考偏导数
复变意义下参考：复变函数的导数（实际上处理思维和二元偏导数类似）