微积分基本定理

$f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，并且 $x$ 为区间 $[a, b]$ 上的一点，则 $f (x)$ 在 $[a, x]$ 上的定积分定义了一个函数 (对每一个 $x$ , 定积分有一个对应的值)：

\begin{array}{r} Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \end{array}

定理 1： $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限的函数在区间上可导，且导数为 $f (x)$

\begin{array}{r} Φ^{'} (x) = \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) (a \leq x \leq b) \end{array}

定理 2：如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限的函数为 $f (x)$ 的一个原函数

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\int_{a}^{g (x)} f (t) d t) = f [g (x)] g^{'} (x) \end{array}

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\int_{a (x)}^{b (x)} f (t) d t) = f [b (x)] b^{'} (x) - f [a (x)] a^{'} (x) \end{array}

注意

变限积分的导数，如果对某一元素进行求导，而积分中又含有该元素，必须将该元素提到积分符号外，或者通过换元法提出。

明确积分变量、中间变量、求导变量
情形一：直接提取变量

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\int_{0}^{x^{2}} x \cos t d t) = \frac{d}{d x} (x \int_{0}^{x^{2}} \cos t d t) = \int_{0}^{x^{2}} \cos t d t + x \cdot \cos x^{2} \cdot 2 x \end{array}

情形二：换元法改变积分形式

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\int_{0}^{\cos x} \sin (x - t) d t) & = \frac{d}{d x} (\int_{0}^{\cos x} \sin (x - t) d t) = \frac{d}{d x} (- \int_{x}^{x - \cos x} \sin u d u) \\ = \sin x - \sin (x - \cos x) (1 + \sin x) \end{aligned}

牛顿莱布尼茨公式

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a) \end{array}

进一步揭示定积分与不定积分（被积函数的原函数）的联系：
一个连续函数在区间 $[a, b]$ 上的定积分等于任一个原函数在区间 $[a, b]$ 上的增量