极限

Limit
反映变量的局部性态与变化趋势，是实现无穷运算的唯一方法。

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。在解决实际问题中逐渐形成的极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法。

“数学分析是一门什么学科?” 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

常见极限
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n} + c^{n}} = m a x {a, b, c}$
$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

由极限存在准则得到两个重要极限

如果数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ ， ${z_{n}}$ 满足下列条件：

\begin{array}{r} y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} \end{array}

$lim_{n \to \infty} y_{n} = a, lim_{n \to \infty} z_{n} = a$
则数列 ${x_{n}}$ 的极限存在，且 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$

\begin{array}{r} lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} n \cdot \sin \frac{c}{n} = c \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n} + c^{n}} = m a x {a, b, c} \end{array}

如果数列不仅有界，还是单调的，则此数列的极限必定存在，该数列一定收敛。

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} & (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \end{aligned}

\begin{array}{r} lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e lim_{z \to 0} (1 + z)^{1 / z} = e \end{array}

简单记忆 $1^{\infty} = e$ 假设 $x \to x_{0}, f (x) \to 0, g (x) \to \infty$

\begin{array}{r} lim_{x \to x_{0}} (1 + f (x))^{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} (1 + f (x))^{f (x) \cdot g (x) / f (x)} = lim_{x \to x_{0}} e^{g (x) / f (x)} \end{array}

极限的思想是近代数学的一种重要思想，指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为 0 得到极大值或极小值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。