空间曲面

Space Curve

曲面 $S$ 的方程:

\begin{array}{r} F (x, y, z) = 0 \end{array}

对于曲面方程 $F (x, y, z) = 0$

切平面方程： $F_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (x - x_{0}) + F_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y - y_{0}) + F_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0$
法线方程： $\frac{x - x_{0}}{F_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{y - y_{0}}{F_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{z - z_{0}}{F_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}$

\begin{array}{r} F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0 \Rightarrow {\begin{cases} F_{x} (x, y, z) = f_{x} (x, y) \\ F_{y} (x, y, z) = f_{y} (x, y) \\ F_{z} (x, y, z) = - 1 \end{cases} \end{array}

法向量： $n = (f_{x} (x_{0}, y_{0}), f_{y} (x_{0}, z_{0}), - 1)$
切平面方程： $f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) - (z - z_{0}) = 0$
法线方程： $\frac{x - x_{0}}{f_{x} (x_{0}, y_{0})} = \frac{y - y_{0}}{f_{y} (x_{0}, y_{0})} = \frac{z - z_{0}}{- 1}$

看切平面方程：函数 $z = f (x, y)$ 的全微分在几何上表示曲面 $z = f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处切平面上点的竖坐标增量。

假定法向量方向向上，法向量的方向余弦为：

{\begin{cases} \cos α = \frac{- f_{x}}{\sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}} \\ \cos β = \frac{- f_{y}}{\sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}} \\ \cos γ = \frac{1}{\sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}} \end{cases}

对于曲面方程特殊形式： $z = f (x, y)$
曲面的面积元素利用方向余弦投影到 $x y$ 平面上的面积元素：

\begin{array}{r} d A = \frac{d σ}{\cos γ} = \sqrt{1 + f_{x}^{2} (x, y) + f_{y}^{2} (x, y)} d σ \end{array}

将曲面面积的计算转化为二重积分的计算：

\begin{array}{r} A = \iint_{D} \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2}} d x d y \end{array}