隐函数

Implicit Function

实质上是方程形式给定的函数

一、隐函数基本概念

显函数： $y = f (x)$ 等号左端是因变量，右端是含有自变量的式子，自变量取定义域内任一值时，能确定对应的函数值。

隐函数： $F (x, y) = 0$ 变量 $x, y$ 满足一个方程，当 $x$ 取某区间的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的 $y$ 存在，则说明方程在该区间内确定了一个隐函数。

隐函数求导，仅需方程两边对同一变量求导即可。

对于幂指函数，先取对数，再在两边对同一变量求导

\begin{array}{r} y = u^{v} \Rightarrow \ln y = v \ln u \Rightarrow \frac{1}{y} y^{'} = \frac{v}{u} + v^{'} \ln u \Rightarrow y^{'} = u^{v} (\frac{v}{u} u^{'} + v^{'} \ln u) \end{array}

二、单个方程的情形

可以推广，增加变量的个数
隐函数存在定理 1：函数 $F (x, y)$ 在点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F (x_{0}, y_{0}) = 0, F_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y) = 0$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y = f (x)$ ，满足条件 $y_{0} = f (x_{0})$ ，则有：

\begin{array}{r} F (x, y) = 0 \Rightarrow F (x, f (x)) \equiv 0 \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}}{F_{y}} \end{array}

隐函数存在定理 2：函数 $F (x, y, z)$ 在点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0, F_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$ ，则方程 $F (x, y, z) = 0$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $z = f (x, y)$ ，满足条件 $z_{0} = f (x_{0}, y_{0})$ ，则有：

\begin{array}{r} F (x, y, z) = 0 \Rightarrow F (x, y, f (x, y)) \equiv 0 \Rightarrow F_{x} + F_{z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0, F_{y} + F_{z} \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \end{array}

\begin{array}{r} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}} \end{array}

三、方程组的情形

实际上是克拉默法则求解线性方程组的应用

{\begin{cases} F (x, y, u, v) = 0 \\ G (x, y, u, v) = 0 \end{cases}

两个方程，四个未知数，则有两个独立变量，可得到两个独立变量确定的两个函数

{\begin{cases} F [x, y, u (x, y), v (x, y)] \equiv 0 \\ G [x, y, u (x, y), v (x, y)] \equiv 0 \end{cases}

两边同时对 $x$ 求导（对 $y$ 求导同理），得到：

{\begin{cases} F_{x} + F_{v} \frac{\partial u}{\partial x} + F_{v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ G_{x} + G_{u} \frac{\partial u}{\partial x} + G_{v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{cases}

雅可比行列式：

\begin{array}{r} J = \frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = | \begin{array}{c} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array} | = | \begin{array}{c} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array} | \end{array}

\begin{array}{r} \frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{1}{J} \frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)} = - \frac{| \begin{array}{c} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array} |}{| \begin{array}{c} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array} |} \end{array}

\begin{array}{r} \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{1}{J} \frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)} = - \frac{| \begin{array}{c} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array} |}{| \begin{array}{c} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array} |} \end{array}

实际计算过程：确定独立变量和函数的个数，将方程组两边同时对同一元素求导，利用克拉默法则求解偏导数