估计量的评选标准

点估计的结果不唯一，要判断哪个估计量好，就要建立评价标准来评判估计量的优劣

估计量的均值等于被估计的参数

使用样本均值 $\overset{―}{X}$ 作为总体均值 $E (X)$ 的估计时，偏差随机产生，没有系统性偏差的性质称为无偏性。

设 $\hat{θ} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ 为未知参数 $θ \in Θ$ 的估计量，如果对 $\forall θ \in Θ$ ,有 $E (\hat{θ}) = θ$ 成立，则称估计量为无偏估计量

样本方差 $S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2}$ 是 $D (X)$ 的无偏估计
样本的 $k$ 阶原点矩 $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k}$ 是 $E (X^{k})$ 的无偏估计
$E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k}] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X^{k}) = E (X^{k})$

方差越小越好

如果未知参数有两个不同的无偏估计，则 $θ$ 一定有无穷多个无偏估计， $α {\hat{θ}}_{1} + (1 - α) {\hat{θ}}_{2}$
如果 $D ({\hat{θ}}_{1}) < D ({\hat{θ}}_{2})$ 则称 $θ_{1}$ 较 $θ_{2}$ 有效

\begin{array}{r} D ({\hat{θ}}_{1}) = E ({\hat{θ}}_{1} - E ({\hat{θ}}_{1}))^{2} \end{array}

最佳无偏估计量 $\tilde{θ}$

\begin{aligned} E (\tilde{θ}) & = θ \\ D (\tilde{θ}) & = min_{\tilde{θ} \in Θ} D (\hat{θ}) \end{aligned}

最佳无偏估计量为所有无偏估计量中：方差最小的无偏估计量
Schwarz不等式

一致/相合统计量
Khinchin 大数定律依概率收敛：

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} P {| \hat{θ} - θ | > ε} = 0 \end{array}

样本量足够大时，就能使得参数的估计量与参数真值的差大于 $ε$ 的概率足够小，估计到任意的精度。