卡方分布

Chi-Square distribution ) ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$ ${\chi }^2$ 分布

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 取自正态总体 $N(0,1)$ 的样本
统计量 ${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ ，所服从的分布为自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布
概率密度函数与伽马函数相关

基本性质

一般形式

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 分别服从正态分布 $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$

可加性

$X\sim {\chi }^2(m)Y\sim {\chi }^2(n)$
如果 $X,Y$ 相互独立，则和的分布满足：
$X+Y\sim {\chi }^2(m+n)$

期望与方差

期望： $E({\chi }^2)=n$
方差： $D({\chi }^2)=2n$

$X_i\sim N(0,1)$
$E(X_i{)}^2=1$
$E({\chi }^2)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)=n$

$E(X_i{)}^4=3$
$D(X_i^2)=E(X_i^4)-(E(X_i^2){)}^2=3-1=2$
$D({\chi }^2)=\sum _{i=1}^{n}D(X_i^2)=2n$

$E(\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2)=(n-1){\sigma }^2$

$D(\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2)=2(n-1){\sigma }^4$

$E(\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2)=n{\sigma }^2$
$D(\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2)=2n{\sigma }^4$

极限性质

中心极限定理知：
$X\sim {\chi }^2(n)$
当 n 充分大时
${\displaystyle \frac{X-n}{\sqrt{2n}}}\sim N(0,1)$

近似为正态分布