伽马分布

Gamma Function
阶乘的推广

也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的亚纯函数

$\begin{array}{r}\mathrm{\Gamma }(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx\alpha >0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Gamma }(1)=1\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\\ & \mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )\end{array}$
当 $\alpha$ 为自然数 $n$ 时，$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n!$

$\mathrm{\Gamma }(x)$
负整数和 0 是它的一阶极点
亚纯函数是在区域 D 上有定义，且除去极点之外处处解析的函数

$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

实数域上 $x>0$
$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

复数域上 $\mathrm{Re}(z)>0$
$\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{n}{2}})=\{\begin{array}{ll}({\displaystyle \frac{n}{2}}-1)({\displaystyle \frac{n}{2}}-2)\cdots & 3\cdot 2\cdot 1n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}\\ ({\displaystyle \frac{n}{2}}-1)({\displaystyle \frac{n}{2}}-2)\cdots & 3\cdot 2\cdot 1\cdot \sqrt{\pi }n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}\end{array}$