切比雪夫不等式

Chebyshev's Inequality 切比雪夫不等式

随机变量 $X$ 有期望: $E(X)=\mu$ 方差: $D(X)={\sigma }^2$
则对于任何给定的 $\epsilon >0$，有

• ${\sigma }^2$ 越小，事件 $\{|X-E(X)|<\epsilon \}$ 的概率越大
  也即：方差越小，随机变量集中在期望附近的可能性越大
  方差刻画了随机变量取值的离散程度

• 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量 $X$ 偏差期望值概率的上界

• 它适用于所有具有有限期望值和方差的随机变量。

• 它提供了一个概率上界，即它给出了一个概率的上限，实际概率可能更小。

• 它不依赖于随机变量的具体分布，只依赖于期望值和方差。

• 它是一种弱大数定律，因为它只给出了一个概率的上界，并没有给出概率的确切值。

在其他类型的分布特性（如正态分布）不适用或未知的情况下。它可以用来估计数据的离散程度，或者在没有足够数据来确定分布的情况下进行概率估计

证明：