线性自回归滑动平均模型

平稳时间序列

时间序列：
以时间 $t$ 为参数的离散参数随机过程

平稳时间序列：
时间序列 $\{X_t,t=0,t=\pm 1,\pm 2,\cdots \}$，满足条件：
$E(X_t)=\mu$ $E(X_t{X}_{t+k})$ 均与时间 $t$ 无关

自相关函数：

为自协方差函数

偏相关函数：
最小方差估计

线性自回归滑动平均

平稳时间序列各项的均值都相同，则通过平移总可以将序列的均值归零

设均值为零的 平稳时间序列 $\{X_t,t=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \}$ 满足：

$X_t-{\phi }_1{X}_{t-1}-\cdots -{\phi }_p{X}_{t-p}={\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-\cdots -{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$

• 平稳时间序列 $\{X_t,t=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \}$
• 白噪声序列 $\{{\epsilon }_t,t=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \}$
• $\Phi (u)=1-{\phi }_{1}u-\cdots -{\phi }_p{u}^p=0$
• $\Theta (u)=1-{\theta }_{1}u-\cdots -{\theta }_q{u}^q=0$

如果 $\Phi (u)$ 与 $\Theta (u)$ 没有公共根，称为 p 阶自回归 q 阶平均滑动时间序列
称为 $ARMA(p,q)$ 模型

自回归 $AR(p)$

滑动平均 $MA(q)$