随机事件

随机现象

随机现象：
大量重复观测后，结果表现出某种规律性的现象

统计规律性：
随机现象在大量重复观测时所表现出来的量的规律性

随机试验 E
为了研究和揭示随机现象的统计规律性，需要对随机现象进行大量重复的观察、测量或者试验

• 可重复性
  可以在相同的条件下重复进行
• 可观测性
  每次试验的结果都是明确的，可观测的
• 随机性
  每次试验要出现哪些结果是不确定的，
  试验之前无法预知哪一个结果出现

样本空间

样本空间
样本空间： $\mathrm{\Omega }$
样本点： $\omega$

随机事件

随机事件 $ABC$
随机现象的某些样本点组成的集合，简称事件
任一事件都是样本空间的子集

$A\subseteq \mathrm{\Omega }$
一次试验中，出现一个样本点 $\omega$
如果 $\omega \in A$ 则事件A 发生
如果 $\omega \notin A$ 则事件 A 不发生

基本事件：
单个样本点 $\omega$ 组成的事件
必然事件：$\mathrm{\Omega }$
包含样本空间的所有样本点，每次试验必然发生
不可能事件：$\varnothing$
不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生

随机变量

随机变量：
$XYZ$
定义在样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 上的单值实值函数

事件间的关系

包含： $A\subset B$
事件 A 的样本点必然属于事件 B，当事件 A 发生时事件 B 一定发生

互不相容/互斥：
事件 A、B 没有相同的样本点
事件 A、B 不能同时发生
$AB=\varnothing$

相等： $A=B$
$A\subset B,B\subset A$
事件 AB 所含样本点完全相同

事件运算

逻辑代数

事件的运算

并/和/或 or
$A\cup B$ $A+B$
事件 A 和事件 B 中所有的样本点组成的新事件
事件 A 和事件 B 至少有一个发生

• 一般而言 加法公式：
  $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
• 事件互斥：
  $P(A+B)=P(A)+P(B)$

交/积/与 and
$A\cap B$ $AB$
事件 A 和事件 B 中公共的样本点组成的新事件
事件 A 和事件 B 同时发生

• 一般而言 条件概率 乘法公式
  $P(AB)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A)$
• A 、 B 相互独立
  $P(AB)=P(A)P(B)$

差
$A-B$
事件 A 发生而事件 B 不发生
$A-B=A-AB=A\complement B$

减法公式：
$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

对立事件
$\bar{A}=\mathrm{\Omega }-A$
$A\cup B=\mathrm{\Omega },A\cap B=\varnothing$, 则称事件 A、B 互逆或对立
互为逆事件，记 $B=\bar{A}$

随机事件的运算性质

交换律：
$A\cup B=B\cup AAB=BA$
结合律:
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)(AB)C=A(BC)$
分配律:
$A(B\cup C)=AB\cup ACA\cup (BC)=(A\cup B)(A\cup C)$
对偶律
$\overline{A\cup B}=\bar{A}\bar{B}\overline{AB}=\bar{A}\cup \bar{B}$

事件域

事件域 $\mathcal{F}$