随机变量的独立性

事件的独立性：
事件 A、B 满足 $P (A B) = P (A) (B)$
则称事件 A、B 统计独立，简称独立

\begin{array}{r} F (x, y) = P {X \leq x, Y \leq y} \end{array}

边缘分布函数为：

\begin{aligned} F_{X} (x) & = P {X \leq x, Y < + \infty} = F (x, + \infty) \\ F_{Y} (y) & = P {X \leq + \infty, Y < y} = F (+ \infty, y) \end{aligned}

如果对于任意的 $(x, y)$ 有：

\begin{array}{r} F (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) \end{array}

联合分布函数等于边缘分布函数之积
则称 $X, Y$ 为互相独立的随机变量

$(X, Y)$ 为二维离散型随机变量
$X, Y$ 相互独立的充分必要条件：

p_{i j} = p_{i \cdot} p_{\cdot j}

联合分布律： $p_{i j} = P {X = x_{i}, Y = y_{i}}$
$X$ 的边缘分布律： $p_{i \cdot} = P {X = x_{i}}$
$Y$ 的边缘分布律： $p_{\cdot j} = P {Y = y_{j}}$

$(X, Y)$ 为二维连续型随机变量
$X, Y$ 相互独立的充分必要条件：

\begin{array}{r} f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) \end{array}

联合密度函数： $f (x, y)$
$X$ 的边缘概率密度： $f_{X} (x)$
$Y$ 的边缘概率密度： $f_{Y} (y)$