级数

Series
认识事物在数量方面的特性，往往有一个近似到精确的过程。

级数是数学中一系列数的和的表示，由数列构成，用于分析和研究函数。

在数学分析中，特别关注无穷级数，即项数无限多的级数，无穷级数的收敛性是研究的重点，因为只有收敛的无穷级数才有一个确定的和。

对级数的高度认识：用级数表示函数

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x) = u_{1} (x) + u_{2} (x) + \dots + u_{n} (x) + \dots \end{array}

对于任意固定的 $x_{0} \in E$ , 若常数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x_{0})$ 收敛，则称函数项级数在 $x_{0}$ 处收敛--> 收敛点
收敛点的全体构成的集合称为收敛域
逐项求导：求导运算与无限求和运算可以交换次序

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{d x} u_{n} (x) \end{array}

逐项求积分：求积分运算与无限求和运算可以交换次序

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} u_{n} (x) d x \end{array}