复数项级数

复数列的极限

$\left\{{\alpha }_n\right\}(n=1,2,\cdots )$ 为一复数列
${\alpha }_n=a_n+i{b}_n$
$\alpha =a+ib$ 为一确定的复数
对于任意给定的 $\epsilon >0$，都能找到一个正数 $N(\epsilon )$，使得 $|{\alpha }_n-\alpha |<\epsilon$ 在 $n>N$ 时成立
则 $\alpha$ 称为复数列当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的极限

复数列 $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 收敛于 $\alpha$ 的充要条件

复数列的敛散性转化为两个实数列的敛散性

复数项无穷级数

$\left\{{\alpha }_n\right\}=\{a_n+i{b}_n\}$ 为一复数列
复数项无穷级数：

部分和（前 n 项和）：
$S_n={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

• 部分和数列收敛，则级数收敛
• 部分和数列不收敛，则级数发散

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$ 的前 n 项和 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n={\displaystyle \frac{1-z^n}{1-z}}$

• 当 $\left|z\right|<1$ 时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n={\displaystyle \frac{1}{1-z}}$ 级数收敛
• 当 $\left|z\right|>1$ 时，级数发散

复数项级数收敛的条件

• 复数项级数收敛的充要条件：
  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 都收敛
  转化为常数项级数审敛法的敛散性判断

• 复数项级数收敛的必要条件：

绝对收敛和条件收敛
如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$ 收敛，则称级数绝对收敛
则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 也收敛，且 $|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n|\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$ 不收敛，而 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，则称为条件收敛

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{收}\mathrm{敛}\iff \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\mathrm{与}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{收}\mathrm{敛}$

与实数意义下的级数敛散性非常相近