幂级数

Power Series
特殊的函数项级数

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + \dots \end{array}

如果幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 当 $x = x_{0}$ 时收敛，则满足不等式 $| x | < | x_{0} |$ 的一切 $x$ 使得此幂级数绝对收敛。
如果幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 当 $x = x_{0}$ 时发散，则满足不等式 $| x | > | x_{0} |$ 的一切 $x$ 使得此幂级数发散。

如果幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 不是仅在 $x = 0$ 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数 $R$ （称为收敛半径）使得：

收敛半径： $R$
收敛区间： $(- R, R)$
收敛域：在收敛区间的基础上，确定 $| x | = R$ 的敛散性，来得到最终的收敛域

根据正项级数审敛法：求收敛半径也可使用多种审敛法

求收敛半径的实质：抓住 点态收敛，转化为数项级数敛散性的判断

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} x^{n}} | = λ \cdot | x | \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} x^{n} |} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} \cdot | x | = λ \cdot | x | \end{array}

收敛半径 $R$ ：

R = {\begin{cases} + \infty & λ = 0 \\ \frac{1}{λ} & λ \in (0, + \infty) \\ 0 & λ = + \infty \end{cases}

注意实际上级数的通项为 $u_{n} (x)$ ，收敛半径要注意 $x$ 的幂次

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} | \frac{u_{n} (x)}{u_{n - 1} (x)} | = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| u_{n} (x) |} \end{array}

一定要明确收敛半径的本质
实际上是项数趋于无穷时相邻两项之比小于 1，求出对应的自变量取值范围
本质上是与等比级数相比较，将函数的敛散性传化为特定点时的数项级数敛散性判断

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\frac{x + 1}{2})^{2 n} lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = \frac{1}{3} lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1} (\frac{x + 1}{2})^{2 n + 2}}{a_{n} (\frac{x + 1}{2})^{2 n}} | < 1 \\ | 3 (\frac{x + 1}{2})^{2} | < 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} < (x + 1) < \frac{2}{\sqrt{3}} R = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}

先求出收敛半径，确定收敛域，设出和函数 $S (x)$
利用逐项求导，逐项求积分来转化为已知的特殊幂级数展开

幂级数在其收敛域上连续，在包含于收敛域中的任意闭区间上

\begin{aligned} \int_{0}^{x} S (x) d x = \int_{0}^{x} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} x^{n} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} & a_{n} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \end{aligned}

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{d x} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} \end{array}

并且逐项积分、逐项求导所得的幂级数的收敛半径也是 $R$

\begin{array}{r} S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = lim_{n \to \infty} \frac{(1 - x^{n})}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} (- 1 < x < 1) \end{array}

\begin{array}{r} S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} = lim_{n \to \infty} \frac{x (1 - x^{n})}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} (- 1 < x < 1) \end{array}

不要局限于 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ 还应关注其他常见幂级数：泰勒级数
一定要注意函数的收敛域，求和函数首先要求出函数的收敛域。

\begin{matrix} S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 2}{n!} x^{2 n + 1} \\ \int_{0}^{x} S (x) d x = x^{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n!} = x^{2} (e^{x^{2}} - 1) \\ S (x) = 2 x (e^{x^{2}} - 1) + 2 x^{3} e^{x^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n} \frac{S (x)}{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n - 1} \int_{0}^{x} \frac{S (x)}{x} d x = \int_{0}^{x} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n - 1} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n} \\ \int_{0}^{x} \frac{\int_{0}^{x} \frac{S (x)}{x} d x}{x} d x = \int_{0}^{x} \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1 - x} \\ \frac{\int_{0}^{x} \frac{S (x)}{x} d x}{x} = \frac{d}{d x} \frac{x}{1 - x} S (x) = x \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{1 - x}) = \frac{x (1 + x)}{(1 - x)^{3}} \end{matrix}