向量空间

Vector Space
向量空间由向量基底张成，向量空间的维度就是基向量的个数。

子空间：

Linear Combination

\begin{matrix} v = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) w = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}) \\ c v + d w = (\begin{matrix} c v_{1} + d w_{1} \\ c v_{2} + d w_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{array}{r} v + w = (\begin{array}{c} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2} \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} k v = (\begin{array}{c} k v_{1} \\ k v_{2} \end{array}) \end{array}

(i) $α + β = β + α$
(ii) $(α + β) + γ = α + (β + γ)$

Column space) $C (A$
包含矩阵的列向量的所有的线性组合
求解 $A \vec{x} = \vec{b}$ 本质上是找到矩阵 $A$ 的列向量的一个线性组合来表达向量 $\vec{b}$
如果 $\vec{b}$ 不在矩阵的列空间中，则方程无解

Nullspace) $N (A$
包含 $A \vec{x} = \vec{0}$ 的所有解

Row space) $C (A^{T}$
其实就是矩阵转置的列空间

Left Nullspace) $N (A^{T}$
矩阵转置的零空间

Orthogonal complement 正交补
空间中的所有向量不仅相互垂直，而且在维度上相互补充

Fundamental Theorem of Linear Algebra, Part 2
线性代数基本定理：