矩阵

Matrix
矩阵是 $m$ 行 $n$ 列的数表/矩形数组，在某些编程语言中称为 Array
用于表示和处理线性变换、解线性方程组、计算向量空间中的各种运算。

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}) \end{array}

对矩阵进行运算实际上是对多维数据进行处理

两个同型矩阵才能进行加法运算
定义为对应的元素相加
$(A + B)_{i j} = A_{i j} + B_{i j}$

数 $λ$ 与矩阵相乘，相当于矩阵的每一个元素与数 $λ$ 相乘

矩阵乘法实现维数的转换，也即矩阵作用相当于线性变换

\begin{array}{r} C_{(m n)} = A_{(m \times j)} B_{(j \times n)} \end{array}

矩阵乘法不满足交换律，左侧矩阵的列数与右侧矩阵行数相等时，才能相乘

定义为 $(A^{T})_{i j} = A_{j i}$

\begin{matrix} (A^{T})^{t} = A \\ (A B)^{T} = B^{T} A^{T} \end{matrix}

注意

有的编程语言中存在 Broadcasting 机制，可以自动扩展运算不同维度的数组 (矩阵)

矩阵可交换乘法

单位矩阵：任何矩阵与单位矩阵相乘，结果仍然是原矩阵。单位矩阵可以看作是乘法的“交换”元素，因为对于任何矩阵 A，都有 AI=IA=AI=IA=A。
相同矩阵：如果两个矩阵 A 和 B 是相同的，那么 AB=BA。
对角矩阵：如果两个矩阵都是对角矩阵，并且它们的乘积也是对角矩阵，那么这两个对角矩阵的乘法是可交换的。
零矩阵：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵，因此零矩阵在乘法下是“交换”的。
对称矩阵和斜对称矩阵：如果两个矩阵 AA 和 BB 都是对称矩阵或都是斜对称矩阵，并且它们的乘积仍然是对称矩阵或斜对称矩阵，那么在这种情况下，AB 和 BA 是相等的。

若数值为 0 的元素数目远远多于非 0 元素的数目，并且非 0 元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非 0 元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。

\begin{array}{r} E = (\begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} Λ = d i a g (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}) = (\begin{array}{c} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{array}) \end{array}

主对角线上方全为 1，最后一行的元素为任意值

分块对角矩阵
每个 Jordan 块的主对角线为特征值，特征值右上一条对角线全为 1

以四阶举例：

\begin{array}{r} J = (\begin{array}{c} λ_{1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{array}) \end{array}

$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式：

\begin{array}{r} φ (A) = a_{1} E + a_{2} A + \dots + a_{m} A^{m} \end{array}

矩阵的幂可交换，多项式的乘积也可交换 $φ (A) f (A) = f (A) φ (A)$
所以关于 $A$ 的多项式可以同实数的多项式一样相乘或分解因式

矩阵的迹 $Tr$