李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

#Linear

充要条件
线性定常系统
$Q > 0$ ， $A^{T} P + P A = - Q$ 解出并判断 $P > 0$ 则系统大范围渐进稳定
$Q \geq 0$ ， $A^{T} P + P A = - Q$ 解出并判断 $P > 0$ 则系统稳定

一、线性定常连续系统

\begin{array}{r} \dot{x} = A x \end{array}

平衡状态 $x_{e} = 0$ 为大范围渐进稳定的充分必要条件： $A$ 的特征值均有负实部。
等价于：对于任意给定的正定对称矩阵 $Q$ ，存在正定对称矩阵 $P > 0$ ，使得 $A^{T} P + P A = - Q < 0$
李雅普诺夫函数为：

\begin{array}{r} V (x) = x^{T} P x > 0 \dot{V} (x) = - x^{T} Q x < 0 \end{array}

为方便计算，一般设出矩阵 $P$ 使得 $A^{T} P + P A = - I$ ,
求出 $P$ ，并认定矩阵正定 $P > 0$ ，等价于 $A$ 的特征值均有负实部，也即认为系统在平衡点出大范围渐进稳定。
如果只要求系统稳定，可以取 $Q$ 为半正定矩阵。

二、线性时变连续系统

\begin{array}{r} \dot{x} = A (t) x \end{array}

系统在平衡点处大范围渐近稳定的充分必要条件：对于任意给定的连续对称正定矩阵 $Q (t)$ ，必存在一个连续对称矩阵 $P (t)$ ，满足： $\dot{P} (t) = - A^{T} (t) P (t) - P (t) A (t) - Q (t)$
李雅普诺夫函数为： $V (x, t) = x^{T} (t) P (t) x (t)$

Riccati 矩阵微分方程的解（理论结果漂亮，但是不要求掌握，主要还是李雅普诺夫第二法求解）

三、线性定常离散系统

\begin{array}{r} x (k + 1) = G x (k) \end{array}

则平衡状态处渐近稳定的充分必要条件： $G$ 的特征根均在单位开圆盘内。
等价于：存在对称矩阵 $P > 0$ ，使得 $G^{T} P G - P = - Q < 0$

四、线性时变离散系统

\begin{array}{r} x (k + 1) = G (k + 1, k) x (k) \end{array}

平衡状态大范围渐近稳定的充要条件： $P (k) > 0$

\begin{array}{r} G^{T} (k + 1, k) P (k + 1) G (K + 1, k) - P (k) = - Q (k) \end{array}

\begin{array}{r} V [x (k), k] = x^{T} (k) P (k) x (k) \end{array}