李雅普诺夫第一法

Lyapunov's First Method

间接法，利用系统矩阵的特征值或系统状态方程的解来判断系统稳定性。主要针对线性定常系统和非线性不是很严重的系统

在平衡状态渐近稳定
充分必要条件系统矩阵 $A$ 所有特征值均具有负实部 $| λ I - A | = 0 λ_{i} < 0$

输出稳定：系统对于有界输入所引起的输出是有界的。
充分必要条件：传递函数的极点均具有负实部 (在 $s$ 左半平面) $W (s) = c (s I - A)^{- 1} b R e s_{i} < 0$

虽然状态矩阵的特征值和传递函数矩阵分母的根（极点）相同，但是传递函数可能出现零极点对消现象，使得状态稳定性和输出稳定性可能不一致。状态不稳定时，可能也会有输出稳定。

\begin{array}{r} \dot{x} = f (x) \Rightarrow \dot{x} = f (x_{e}, t) + {\frac{\partial f}{\partial x} |}_{x = x_{e}} (x - x_{e}) + R (x) \end{array}

\begin{array}{r} Δ x = x - x_{e} \Rightarrow Δ \dot{x} = A Δ x \end{array}

\frac{\partial f}{\partial x} = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}) A = {\frac{\partial f}{\partial x} |}_{x = x_{e}}

线性化后得到特征矩阵，计算矩阵的特征值

所有特征值均具有负实部，原非线性系统在平衡点处渐近稳定
至少有一个特征值具有正实部，原非线性系统不稳定
至少有一个特征值为零，不能根据特征矩阵判别原非线性系统的稳定性，只能看高阶导数项（较为复杂，很难判断，最为不利的情况），无法确定
在非线性系统稳定性分析存在瓶颈，不建议使用，建议使用李雅普诺夫第二法

{\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = x_{1} - x_{1} x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = - x_{2} + x_{1} x_{2} \end{cases}

平衡点

\begin{array}{r} {\begin{cases} 0 = x_{1} - x_{1} x_{2} \\ 0 = - x_{2} + x_{1} x_{2} \end{cases} \end{array} \Rightarrow x_{e_{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), x_{e_{2}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 - x_{2} & - x_{1} \\ x_{2} & - 1 + x_{1} \end{array}) \end{array} \Rightarrow A_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) A_{2} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})