李雅普诺夫第二法

Lyapunov's Second Method

直接法：构造李雅普诺夫函数从能量的观点进行稳定性分析

Description

$V (x)$ 为 $n$ 维矢量 $x$ 定义的标量函数， $x \in Ω$ ， $V (0) \equiv 0$ ，且对于 $x \neq 0$ 有：

二次型函数： $V (x) = x^{T} P x$ ， $P$ 为实对称矩阵

计算各阶主子行列式 $Δ_{i}$
矩阵正定： $Δ_{i} > 0$
矩阵负定： $Δ_{i} = {\begin{cases} < 0 i 为奇数 \\ > 0 i 为偶数 \end{cases}$

如果沿状态轨线方向计算的时间导数 $\frac{d V (x)}{d t}$ 是负定的，则系统为渐进稳定的。

李雅普诺夫函数：

定义的一个正定的标量函数 $V (x)$ 作为虚构的能量函数 （ $x = 0, V (x) = 0; x \neq 0, V (x) > 0$ ）
对所有的状态变量 $x$ 都具有一阶连续偏导数。
（要根据系统结构参数选取，不过一般可以考虑 $V (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$
只能表示系统在平衡状态附近某邻域内的局部运动的稳定情况。

李雅普诺夫函数沿状态轨线方向计算的时间导数 $\frac{d V (x)}{d t}$ ：

\begin{array}{r} \dot{V} (x) = \frac{d V (x)}{d t} = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{d x}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} \times {\dot{x}}_{i} \end{array}

如果时间导数正负定判定为：

半负定：一般而言可以判定系统稳定（不一定渐进稳定）
- 如果除去 $x = 0$ 外， $\dot{V} (x)$ 不恒为零，则原点平衡状态是渐进稳定的
- 如果 $\dot{V} (x)$ 恒为零，运动轨迹不会收敛于原点，会落到某个特定曲面（超球面/极限环） $V (x) = C$ 上，只是稳定，而非渐进稳定
负定：原点平衡状态渐进稳定。当 $| | x | | \to \infty, V (x) \to \infty$ ，则进一步得到系统大范围渐进稳定
正定：系统不稳定

对于给定系统，如果能找到满足判据条件的函数就能对系统稳定性进行肯定的判断。
但是只是充分而非必要的，如果找不到，就不能判断稳定性。

\begin{array}{r} V (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0 \dot{V} (x) = 2 x_{1} {\dot{x}}_{1} + 2 x_{2} {\dot{x}}_{2} \end{array}