线性定常系统的能观性

Observability

考察系统所有状态变量的任意形式的运动是否均可以由输出完全反映。只需要考虑状态变量的影响，无需考虑输入，所以只需要看状态空间方程的齐次部分和输出方程

{\begin{cases} \dot{x} = A x x (t_{0}) = x_{0} \\ y = C x \end{cases}

利用状态空间表达式Jordan标准化将系统矩阵进行线性变换

\begin{aligned} \dot{z} & = T^{- 1} A T z = {\begin{cases} \dot{z} = Λ z 特征值无重根，化为对角阵 \\ \dot{z} = J z 特征值有重根，化为约旦标准型 \end{cases} \\ y & = C T z \end{aligned}

线性变换后，看输出矩阵 $C T$

如果化为对角阵，只要输出矩阵元素全不为零
如果化为 Jordan 标准型
不同特征值对应的不同约旦块的第一列元素不为零向量
相同特征值产生的约旦块的第一列元素不仅不为零向量，且要满足线性独立的条件

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} λ_{1} & 1 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 1 \\ 0 & 0 & λ_{1} \\ λ_{2} & 1 \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{array}) C = (\begin{array}{c} c_{1} & c_{3} & c_{5} \\ c_{2} & c_{4} & c_{6} \end{array}) \end{array}

系统完全能观的充分必要条件：

\begin{array}{r} r a n k N = r a n k (\begin{array}{c} C \\ C A \\ ⋮ \\ C A^{n - 1} \end{array}) = n \end{array}