线性系统稳态误差计算

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义

$e(t)=e_{ts}(t)+e_{ss}(t)$

• 暂态分量： $e_{ts}(t)$
  $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}_{ts}(t)=0$
  系统稳定是基本的要求

• 稳态分量： $e_{ss}(t)$
  $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}e(t)=e_{ss}(\mathrm{\infty })$
  即系统的 稳态误差

使用拉普拉斯变换的终值性质计算

求稳态误差的基本步骤

1. 得到误差传递函数
   ${\mathrm{\Phi }}_e(s)={\displaystyle \frac{E(s)}{R(s)}}={\displaystyle \frac{1}{1+G(s)}}$

(正常意义上的误差传函, 按照闭环传递函数的定义计算)

只要抓住传递函数的根本定义

• 闭环传递函数：
  $\mathrm{闭}\mathrm{环}\mathrm{传}\mathrm{递}\mathrm{函}\mathrm{数}={\displaystyle \frac{\mathrm{前}\mathrm{向}\mathrm{通}\mathrm{路}\mathrm{传}\mathrm{递}\mathrm{函}\mathrm{数}}{1+\mathrm{开}\mathrm{环}\mathrm{传}\mathrm{递}\mathrm{函}\mathrm{数}}}$

• 误差传递函数：误差信号与输入信号之比

2. 判断是否稳定

利用误差传递函数的特征方程
判断系统是否稳定

3. 利用终值定理求出稳态误差

正弦信号的输入下的误差计算：
求误差传递函数
利用频率特性
代入输入信号的角频率
得到输出的误差信号

影响系统稳定误差的因素

1. 系统输入 $R(s)$
2. 开环增益 $K$
3. 型次/系统类型： $v$

开环传递函数极点为 0 的个数/纯积分环节的个数
可以直接判断传递函数对经典输入信号的跟踪能力

求误差系数，也即在考虑输入的阶次时，对开环传递函数求极限

• 阶跃输入 ${\displaystyle \frac{1}{s}}$
  $K_p=\underset{s\to 0}{lim}G(s)H(s)=\underset{s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{K}{s^v}}$ 静态位置误差系数

• 斜坡输入 ${\displaystyle \frac{1}{s^2}}$
  $K_v=\underset{s\to 0}{lim}sG(s)H(s)=\underset{s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{K}{s^{v-1}}}$ 静态速度误差系数

• 加速度输入 ${\displaystyle \frac{1}{s^3}}$
  $K_a=\underset{s\to 0}{lim}{s}^{2}G(s)H(s)=\underset{s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{K}{s^{v-2}}}$ 静态加速度误差系数

注意 $K$ 是误差传递函数化为尾 1 多项式的开环增益

减小输入作用下的稳态误差

• 增大系统开环增益
• 增加开环传递函数的积分环节
  （前向通路或主反馈通道）

误差传递函数区别

开环传递函数 $G(s)F(s)$
闭环传递函数 $\mathrm{\Phi }(s)={\displaystyle \frac{C(s)}{R(s)}}={\displaystyle \frac{G(s)}{1+G(s)F(s)}}$
误差传递函数 ${\mathrm{\Phi }}_e={\displaystyle \frac{E(s)}{R(s)}}$

好吧, 其实还是用传递函数算就行
${\displaystyle \frac{\mathrm{前}\mathrm{向}\mathrm{通}\mathrm{路}}{1+\mathrm{开}\mathrm{环}\mathrm{传}\mathrm{递}\mathrm{函}\mathrm{数}}}$

单位负反馈

闭环传递函数 ${\displaystyle \frac{A}{B+A}}$
误差传递函数 ${\displaystyle \frac{B}{B+A}}$

反馈函数 C

闭环传递函数 ${\displaystyle \frac{A}{B+CA}}$
误差传递函数 ${\displaystyle \frac{B}{B+CA}}$