180°根轨迹绘制法则

常规根轨迹

Note

开环传函的其他参数变化都可采用
下面以**根轨迹增益 $K^{*}$ **变化为讨论前提

\begin{array}{r} K^{*} \frac{\prod_{j = 1}^{m} (s - z_{j})}{\prod_{i = 1}^{n} (s - p_{i})} = - 1 \end{array}

闭环特征方程：
$1 + G (s) H (s) = 0$ (就是 1+开环传递函数！)

根轨迹方程：
$G (s) H (s) = - 1$

1. 起点和终点

根轨迹起于开环极点，终于开环零点

需写明：起始点为~，终点为~

如果零点数小于极点数，则必有无穷远点为终点

2. 分支数、对称性、连续性

分支数= $M a x {m, n}$

m：开环有限零点数
n ：开环有限极点数

根轨迹均连续并且对称于实轴

3. 渐近线

$n > m$ 时，有 $n - m$ 条根轨迹分支沿着
与实轴夹角 $φ_{a}$ 、交点为 $σ_{a}$ 的一组渐近线趋向无穷远处

\begin{aligned} φ_{a} = \frac{(2 k + 1) π}{n - m} \\ σ_{a} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{i} - \sum_{j = 1}^{m} z_{j}}{n - m} \end{aligned}

与实轴的交点：（极点之和-零点之和）/根轨迹分支数
与实轴的夹角：根轨迹分支数平分 360°

4. 在实轴上的分布

实轴上某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹

注意

只是判断在实轴上的分布
如果发现右边零极点个数之和不为奇数的实轴之上有根轨迹，不要惊讶

4. 分离点和分离角

分离点：
两条或两条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又立即分开的点

\begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{d - p_{i}} = \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{d - z_{j}} \end{array}

如果无有限开环零点

\begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{d - p_{i}} = 0 \end{array}

意味着有重根

\begin{aligned} G_{0} (s) = \frac{N (s)}{D (s)} = - 1 \\ N^{'} (s) D (s) - N (s) D^{'} (s) = 0 \end{aligned}

分离角：
根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角

\begin{array}{r} θ_{d} = \frac{1}{l} (2 k + 1) π \end{array}

$l$ 为进入分离点的分支数

根轨迹在实轴上汇合分离
满足“上下对称原则”及 “周角等分原则”

分离角：分支数平分 360°

6. 起始角和终止角

一般针对在实轴之上的零极点（有虚部的）
为了画得更精细

起始角：
离开开环复数极点的切线与正实轴的夹角

\begin{array}{r} θ_{p_{i}} = (2 k + 1) π + \sum_{j = 1}^{m} φ_{z_{j} p_{i}} - \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} θ_{p_{j} p_{i}} \end{array}

终止角：
进入开环复数零点的切线与正实轴的夹角

\begin{array}{r} φ_{z_{i}} = (2 k + 1) π - (\sum_{j = 1, j \neq i}^{m} φ_{z_{j} z_{i}} - \sum_{j = 1}^{n} θ_{p_{j} z_{i}}) \end{array}

本质是根据相角条件计算
开环复数零极点也在根轨迹上，取极限，代点计算

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{m} ∠ (s - z_{j}) - \sum_{i = 1}^{n} ∠ (s - p_{i}) = (2 k + 1) π \end{aligned}

7. 与虚轴的交点

方法一：
利用Routh表，出现全零行，结合辅助方程

方法二：
闭环特征方程，代入纯虚数
设根为 $j ω$

\begin{array}{r} 1 + G (j ω) H (j ω) = 0 \end{array}

利用复数相等，求解!

8. 极点之和

闭环极点之和等于开环极点之和
且为常数

根轨迹重心：
当根轨迹增益 $Ｋ^{*}$ 变化，某些闭环极点在 $s$ 平面上向左移动时，则必有另一些极点向右移动

特殊的轨迹

如果为圆，需要简单的证明
一般是求闭环特征方程的根，取出实部和虚部

再证明根的实部和虚部满足圆的方程
注意参数的范围

韦达定理
$a x^{2} + b x + c = 0$
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

例子：
证明根轨迹是圆的一部分
特征方程：

\begin{array}{r} D (s) = (1 + K^{*}) s^{2} + (2 + 3 K^{*}) s + 3 = 0 \end{array}

设根为 $s = σ \pm j ω$
$s_{1} + s_{2} = 2 σ = - \frac{2 + 3 K^{*}}{1 + K^{*}}$
$s_{1} s_{2} = σ^{2} + ω^{2} = \frac{3}{1 + K^{*}}$
解得：
$K^{*} = - \frac{2 + 2 σ}{2 σ + 3}$
$(σ - 3)^{2} + ω^{2} = 18$