PID

PID controller Proportional-Integral-Derivative Controller
对误差信号 $e (t)$ 进行比例、积分和微分运算变换后形成的控制规律

\begin{array}{r} G_{c} (s) = K_{p} \end{array}

输出与误差信号成比例
提高系统的开环增益，减小系统稳态误差

\begin{array}{r} G_{c} (s) = \frac{1}{T_{i} s} \end{array}

输出与误差信号随时间的积分成比例
积分的累积作用，不单独使用

\begin{array}{r} G_{c} (s) = T_{d} s \end{array}

输出与误差信号的变化率成比例
对噪声敏感，一般不单独使用

\begin{array}{r} G_{c} (s) = K_{p} (1 + T_{d} s) \end{array}

增加开环零点
对高频信号的抑制能力减弱

\begin{aligned} G_{c} (s) & = K_{p} (1 + \frac{1}{T_{i} s}) \\ = \frac{K_{p} (s + \frac{1}{T_{i}})}{s} \end{aligned}

PI控制器相当于增加了一个位于原点的开环极点和一个负实开环零点
开环极点可以提高型别，减小系统稳态误差
开环零点可以改善缓和极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响
增加Ti值，削弱对稳定性的不利影响
改善中频段，提升截止频率，改善动态性能

一般不能单独使用 D（按偏差控制，系统不稳定）, I (误差累积)

\begin{aligned} G_{c} (s) & = K_{p} (1 + \frac{1}{T_{i} s} + T_{d} s) \\ = \frac{K_{p}}{T_{i}} \frac{T_{i} T_{d} s^{2} + T_{i} s + 1}{s} \end{aligned}