分布函数

May 21, 2024 7:20 AM

Apr 14, 2025 10:25 AM

概率的函数，可以描述任何类型的随机变量

基本定义

$X$ 为随机变量， $x$ 为任意实数，
则函数 $F (x) = P {X \leq x}$ 称为 $X$ 的分布函数
$X$ 服从 $F (x)$ ，记为 $X \sim F (x)$

完整地描述了随机变量的统计规律性
表示了概率分布情况

\begin{aligned} P {x_{1} < X \leq x_{2}} & = P {X \leq x_{2}} - {X \leq x_{1}} \\ = F (x_{2}) - F (x_{1}) \end{aligned}

基本性质

单调性：
$F (x)$ 为单调不减的函数
$x_{1} < x_{2}$ 时， $F (x_{1}) \leq F (x_{2})$
有界性：
$0 \leq F (x) \leq 1$
$F (- \infty) = 0$
$F (+ \infty) = 1$
右连续性：
为右连续的函数
$F (x_{0} + 0) = F (x_{0})$

满足上述三条性质的函数，必为某一随机变量的分布函数

离散分布

概率质量函数的累加

二项分布
 泊松分布
 超几何分布
 几何分布

连续分布

概率密度函数的积分

正态分布
 均匀分布
 指数分布
 伽马分布

注意

记特殊分布时，记的是特殊分布的 分布律 / 密度函数
求分布函数时，累加/积分 即可得到分布函数
千万要注意密度函数的分段表达
求分布函数时，注意对应的积分上下限

求随机变量函数的分布函数

随机变量函数的分布