留数

May 21, 2024 7:20 AM

Apr 17, 2025 2:27 AM

Residue

复积分和复级数理论结合的产物

复变函数理论中的一个重要概念，通常出现在复分析领域，特别是在处理闭合曲线积分时。
一个函数 $f (z)$ 在点 $z = a$ 处的留数，可以理解为函数 $f (z)$ 在 $z = a$ 处的“局部性态”的一个度量，它对于计算闭合路径上的积分非常有用，留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。（见留数的应用）

一、基本定义

$z_{0}$ 为 $f (z)$ 的一个孤立奇点， $f (z)$ 在 $0 < | z - z_{0} | < R$ 内解析，则 $f (z)$ 在 $0 < | z - z_{0} | < R$ 内的洛朗级数为：

\begin{aligned} f (z) = & \dots + c_{- n} (z - z_{0})^{- n} + \dots + c_{- 1} (z - z_{0})^{- 1} + \\ c_{0} + c_{1} (z - z_{0}) + \dots + c_{n} (z - z_{0})^{n} + \dots \end{aligned}

\begin{aligned} \oint_{C} f (z) d z = 2 π i c_{- 1} \Rightarrow c_{- 1} & = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} f (z) d z = R e s [f (z), z_{0}] \end{aligned}

$R e s [f (z), z_{0}]$ 称为 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 的留数，即圆环域内洛朗级数中负幂项 $(z - z_{0})^{- 1}$ 的系数 $c_{- 1}$

二、留数求积分

留数定理：函数 $f (z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ 外处处解析， $C$ 是 $D$ 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则有：(复合闭路定理)

\begin{array}{r} \oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} R e s [f (z), z_{k}] \end{array}

三、计算方法

根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法

1. 可去奇点和本性奇点

可去奇点： $R e s [f (z), z_{0}] = 0$
本性奇点：展开成洛朗级数，求 $c_{- 1}$

注意

如果无穷远点为可去奇点，它的留数不能简单地认为和一般的可去奇点一样为 0
注意留数的根本定义：为负幂项的系数 $c_{- 1}$

2. 极点（主要）

方法 1：

级数为 1： $R e s [f (z), z_{0}] = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z)$
级数为 m：

\begin{array}{r} R e s [f (z), z_{0}] = \frac{1}{(m - 1)!} lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} f (z)] \end{array}

例如二重极点时：

\begin{array}{r} R e s [f (z), z_{0}] = lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{}}{d z^{}} [(z - z_{0})^{2} f (z)] \end{array}

重要！

本方法只适用于分母为形如 $(z - z_{0})$ 的幂次，否则不可使用；
可使用此来求有理分式分解的系数，在积分变换中经常使用。

方法二：
直接利用洛朗级数展开，求 $c_{- 1}$ ，如果高阶导数求解较复杂，而级数展开较为容易时使用

方法三：
$f (z) = \frac{P (z)}{Q (z)}$ , $P (z), Q (z)$ 都在 $z_{0}$ 处解析， $P (z_{0}) \neq 0, Q (z_{0}) = 0, Q^{'} (z_{0}) \neq 0$ ， $z_{0}$ 为一级极点
则留数为： $R e s [f (z), z_{0}] = \frac{P (z_{0})}{Q^{'} (z_{0})}$

大多数时候使用此法较为方便

\begin{aligned} R e s [f (z), z_{0}] & = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = lim_{z \to z_{0}} \frac{P (z)}{\frac{Q (z) - Q (z_{0})}{z - z_{0}}} = \frac{P (z_{0})}{Q (z_{0})^{'}} \end{aligned}

四、在无穷远点的留数

函数 $f (z)$ 在圆环域 $R < | z | < + \infty$ 内解析， $C$ 为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线

\begin{array}{r} R e s [f (z), \infty] = \frac{1}{2 π i} \oint_{- C} f (z) d z \end{array}

积分路线取顺时针方向（反方向）
$R e s [f (z), \infty] = - c_{- 1}$

注意

无穷远点处的留数为负幂项的系数 $c_{- 1}$ 的负数
一般计算，如果不好展开，使用下面的计算公式（见下）

函数 $f (z)$ 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则函数在所有各奇点(包括 $\infty$ )的留数之和必为 0

可以通过计算无穷远点的留数来计算其他孤立奇点的留数之和，来简化积分的计算：
根据留数定理有：

\begin{aligned} \oint_{C} f (z) d z & = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} R e s [f (z), z_{k}] = - 2 π i R e s [f (z), \infty] \end{aligned}

无穷远点处的留数计算，也可使用此公式：

\begin{array}{r} R e s [f (z), \infty] = - R e s [f (\frac{1}{z}) \cdot \frac{1}{z^{2}}, 0] \end{array}

因为无穷远点处的留数没有像一般极点的诸多求法，所以如果不好展开
用上面的公式较多，且要 注意符号

则积分也可表示为：

\begin{array}{r} \oint_{C} f (z) d z = 2 π i R e s [f (\frac{1}{z}) \cdot \frac{1}{z^{2}}, 0] \end{array}

转为对 $0$ 的留数的讨论

如果积分区域内的奇点过多，可以考虑此法计算积分
但是也要注意定理的使用条件：
要求积分的曲线 $C$ 外，除了无穷远点为奇点以外，没有其他奇点

五、留数的证明

\begin{aligned} f (z) = & \dots + c_{- n} (z - z_{0})^{- n} + \dots + c_{- 1} (z - z_{0})^{- 1} \\ + c_{0} + c_{1} (z - z_{0}) + \dots + c_{n} (z - z_{0})^{n} + \dots \\ \oint_{C} f (z) d z = & \dots + \oint_{C} c_{- n} (z - z_{0})^{- n} d z + \dots + \oint_{C} c_{- 1} (z - z_{0})^{- 1} d z \\ + \oint_{C} c_{0} d z + \oint_{C} c_{1} (z - z_{0}) d z + \dots \end{aligned}

由柯西积分定理知：正项幂的部分的积分全为 0
由解析函数的高阶导数知：负项幂（除掉 $c_{- 1}$ ）的部分的积分全为 0
则可以得到：

\begin{aligned} \oint_{C} f (z) d z & = 2 π i c_{- 1} \end{aligned}

\begin{aligned} \oint_{C^{-}} f (z) d z & = \oint_{C^{-}} f (\frac{1}{z}) d \frac{1}{z} \\ = - \oint_{C} f (\frac{1}{z}) (- \frac{1}{z^{2}}) d z \\ = \oint_{C} f (\frac{1}{z}) \frac{1}{z^{2}} d z \\ z \to \infty, & \frac{1}{z} \to 0 \end{aligned}

注意

上面的并非严格的证明过程！