z 变换

Z-Transform
采样信号的拉普拉斯变换

离散时间信号处理中的一个重要数学工具，在信号采样的基础上，由连续时间信号处理中的拉普拉斯变换引申出来的变换方法。（将 $s$ 的超越函数转化为 $z$ 的幂级数或 $z$ 的有理分式）

\begin{aligned} e^{*} (t) & = e (t) δ_{T} (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) δ (t - n T) \end{aligned}

\begin{aligned} E^{*} (s) & = L [e^{*} (t)] = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) L [δ (t - n T)] = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) e^{- n s T} \end{aligned}

\begin{array}{r} E (z) = Z [e (t)] = Z [e^{*} (t)] = \sum_{k = 0}^{\infty} e (n T) z^{- k} \end{array}

$Z$ 表示取 z 变换，习惯上称 $E (z)$ 是采样信号的 z 变换。

\begin{array}{r} δ (t - k T) \Leftrightarrow e^{- k T s} \Leftrightarrow z^{- k} \end{array}

均表示信号延迟了 $k$ 个采样周期，则 $z^{- 1}$ 就为单位延迟因子：表示信号延迟了一个采样周期

根据定义写为级数展开形式，根据级数知识得到最终表达式：

\begin{array}{r} E (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} e (k T) z^{- k} = e (0) + e (T) z^{- 1} + e (2 T) z^{- 2} + \dots + e (k T) z^{- k} + \dots \end{array}

以上级数收敛的充分条件是满足绝对可和条件：

\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{+ \infty} | e (k T) z^{- k} | < + \infty \end{array}

先求已知连续函数的拉氏变换 $E (s)$ ，将有理分式 $E (s)$ 展开为部分分式之和的形式，对每个部分分式进行 z 变换。（展开为部分分式重要的是用留数法来求系数 $c_{i}$ ）

\begin{array}{r} E (s) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{c_{i}}{s - p_{i}} \Rightarrow E (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{c_{i}}{1 - e^{p_{i} T} z^{- 1}} \end{array}

m 重极点的系数：

\begin{array}{r} c_{i} = \frac{1}{(m - 1)!} lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} e (z)] \end{array}

	时间函数	离散信号	拉普拉斯变换	z 变换
延迟	$δ (t - n T)$	$δ (k T - n T)$	$e^{- n T s}$	$z^{- n}$
单位脉冲	$δ (t)$	$δ (k T)$	$1$	$1$
单位阶跃	$1 (t)$	$1 (k T)$	$\frac{1}{s}$	$\frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{z}{z - 1}$
单位时间	$t$	$k T$	$\frac{1}{s^{2}}$	$\frac{T z^{- 1}}{(1 - z^{- 1})} = \frac{T z}{(z - 1)^{2}}$
~~单位加速度~~	$\frac{1}{2} t^{2}$	$\frac{1}{2} k^{2} T^{2}$	$\frac{1}{s^{3}}$	$\frac{T^{2} z^{- 1} (1 + z^{- 1})}{2 (1 - z^{- 1})^{3}}$
指数	$e^{- a t}$	$e^{- a k T}$	$\frac{1}{s + a}$	$\frac{1}{1 - e^{- a T} z^{- 1}} = \frac{z}{z - e^{- a T}}$
常数	$b^{t / T}$	$b^{k}$	$\frac{T}{T s - \ln b}$	$\frac{1}{1 - b z^{- 1}} = \frac{z}{z - b}$

\begin{aligned} Z [δ (t)] & = \sum_{k = 0}^{\infty} δ (k T) z^{- k} = 1 \\ Z (1) & = \sum_{k = 0}^{\infty} 1 \cdot z^{- n} = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + \dots = \frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{z}{z - 1} (q = z^{- 1}) \\ Z [t] & = \sum_{k = 0}^{\infty} (k T) z^{- k} = 0 + T z^{- 1} + 2 T z^{- 2} + \dots = \frac{T z^{- 1}}{(1 - z^{- 1})^{2}} \\ Z [e^{- a t}] & = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{- a k T} z^{- k} = 1 + e^{- a T} z^{- 1} + e^{- 2 a T} z^{- 2} + \dots = \frac{1}{1 - e^{- a T} z^{- 1}} (q = e^{- a T} z^{- 1}) \\ Z [b^{t / T}] & = \sum_{k = 0}^{\infty} b^{k} z^{- k} = 1 + b z^{- 1} + b^{2} z^{- 2} + \dots = \frac{1}{1 - b z^{- 1}} (q = b z^{- 1}) \end{aligned}

Important

实际上主要就是利用了常数项级数中的等比级数，再通俗一点，就是高中的等比数列根据公比求和

z 变换是一种线性变换，满足齐次性与均匀性

\begin{aligned} Z [a e (t)] & = a E (z) \\ Z [e_{1} (t) \pm e_{2} (t)] & = E_{1} (z) \pm E_{2} (z) \end{aligned}

实数位移：整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样序列（左加右减）
实数位移定理相当于拉普拉斯变换的微分与积分定理，可将差分方程转换为 z 域的代数方程

\begin{aligned} Z [f (k T - m T)] & = z^{- m} F (z) \Rightarrow Z [f (k - m)] = z^{- m} F (z) \end{aligned}

根据 $k - m = n n < 0, f (t) = 0 \Rightarrow f (n T) = 0$ ，有：

\begin{aligned} Z [f (k T - m T)] & = \sum_{k = 0}^{\infty} f (k T - m T) z^{- k} = \sum_{n = - m}^{\infty} f (n T) z^{- (n + m)} \\ = z^{- m} (\sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n} + \sum_{n = - m}^{- 1} f (n T) z^{- n}) \\ = z^{- m} F (z) \end{aligned}

\begin{aligned} Z [f (k T + m T)] & = z^{m} [F (z) - \sum_{n = 0}^{m - 1} f (n T) z^{- n}] \end{aligned}

令 $k + m = n$ ，得到：

\begin{aligned} Z [f (k T + m T)] & = \sum_{k = 0}^{\infty} f (k T + m T) z^{- k} = \sum_{n = m}^{\infty} f (n T) z^{- (n - m)} \\ = z^{m} (\sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n} - \sum_{n = 0}^{m - 1} f (n T) z^{- n}) \\ = z^{m} (F (z) - \sum_{n = 0}^{m - 1} f (n T) z^{- n}) \end{aligned}

\begin{array}{r} Z [e^{\mp a t} e (t)] = E (z e^{\pm a T}) \end{array}

初值定理：

\begin{array}{r} e (0) = lim_{n \to 0} e (n T) = lim_{z \to \infty} E (z) \end{array}

终值定理：

\begin{array}{r} e (\infty) = lim_{n \to \infty} e (n T) = lim_{z \to 1} (z - 1) E (z) \end{array}

Important

注意终值定理的使用条件：如果不稳定，不能直接使用！！！

\begin{array}{r} Z [t f (t)] = - z T \frac{d F (z)}{d z} \end{array}

\begin{array}{r} x (n T) * y (n T) = \sum_{k = 0}^{\infty} x (k T) y [(n - k) T] \end{array}

\begin{aligned} g (n T) & = x (n T) * y (n T) \\ G (z) & = X (z) Y (z) \end{aligned}