离散系统稳态分析

Steady-state Analysis of Discrete Systems

误差传递函数：误差信号与输入信号之比
$Φ_{k} (z)$ 为开环传递函数， $Φ_{e} (z)$ 为误差传递函数：

\begin{array}{r} Φ_{k} (z) = D (z) G (z) Φ_{e} (z) = \frac{E (z)}{R (z)} = \frac{1}{1 + Φ_{k} (z)} \Rightarrow E (z) = Φ_{e} (z) R (z) = \frac{R (z)}{1 + Φ_{k} (z)} \end{array}

根据终值定理，稳态误差表示为：

\begin{array}{r} e (\infty) = lim_{z \to 1} (z - 1) R (z) Φ_{e} (z) \end{array}

位置误差系数：

\begin{array}{r} e (\infty) = lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{1}{1 + Φ_{k} (z)} \frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{1}{1 + Φ_{k} (z)} = \frac{1}{1 + K_{p}} \Rightarrow K_{p} = Φ_{k} (1) \end{array}

速度误差系数：

\begin{array}{r} e (\infty) = lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{1}{1 + Φ_{k} (z)} \frac{T z}{(z - 1)^{2}} = \frac{T}{Φ_{k} (z) (z - 1)} = \frac{1}{K_{v}} \Rightarrow K_{v} = \frac{(z - 1) Φ_{k} (z)}{T} \end{array}

加速度误差系数：

\begin{array}{r} e (\infty) = lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{1}{1 + Φ_{k} (z)} \frac{T^{2} z (z + 1)}{2 (z - 1)^{3}} = \frac{1}{K_{a}} \Rightarrow K_{a} = \frac{(z - 1)^{2} Φ_{k} (z)}{T^{2}} \end{array}