Z变换

Z-Transform
离散时间信号处理中的一个重要数学工具，
由连续时间信号处理中的拉普拉斯变换引申出来的变换方法

对于采样信号 $e^{*} (t)$

\begin{aligned} e^{*} (t) & = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) δ (t - n T) \\ E^{*} (s) & = L [e^{*} (t)] = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) e^{- n s T} \end{aligned}

令 $z = e^{s T}$ ，将 $s$ 的超越函数转化为 $z$ 的幂级数或 $z$ 的有理分式

\begin{array}{r} z = e^{s T} \end{array}

\begin{array}{r} E (z) = Z [e^{*} (t)] = \sum_{n = 0}^{\infty} e (n T) z^{- n} \end{array}

z 变换方法

1.级数求和法

根据定义写为级数展开形式

\begin{array}{r} E (z) = e (0) + e (T) z^{- 1} + e (2 T) z^{- 2} + \dots + e (n T) z^{- n} \end{array}

若 $e (t) = 1 (t)$
$e^{*} (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} δ (t - n T)$
$E^{*} (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n T s} \to E (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{- n}$

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{- n} = \frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{z}{z - 1} \end{array}

2. 部分分式法

先求已知连续函数的拉氏变换 $E (s)$
将有理分式 $E (s)$ 展开为部分分式之和的形式

z 变换的性质

1. 线性定理

z 变换是一种线性变换，满足齐次性与均匀性

\begin{aligned} Z [a e (t)] & = a E (z) \\ Z [e_{1} (t) \pm e_{2} (t)] & = E_{1} (z) \pm E_{2} (z) \end{aligned}

2. 实数位移定理

实数位移:
整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样序列

向左平移为超前
向右平移为滞后

\begin{aligned} Z [e (t - k T)] & = z^{- k} E (z) \\ Z [e (t + k T)] & = z^{k} [E (z) - \sum_{n = 0}^{k - 1} e (n T) z^{- n}] \end{aligned}

实数位移定理相当于拉普拉斯变换的微分与积分定理
可将差分方程转换为 z 域的代数方程

3. 复数位移定理

\begin{array}{r} Z [e^{\mp a t} e (t)] = E (z e^{\pm a T}) \end{array}

4. 终值定理

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} e (n T) = lim_{z \to 1} (z - 1) E (z) \end{array}

5. 卷积定理

卷积

\begin{array}{r} x (n T) * y (n T) = \sum_{k = 0}^{\infty} x (k T) y [(n - k) T] \end{array}

\begin{aligned} g (n T) & = x (n T) * y (n T) \\ G (z) & = X (z) Y (z) \end{aligned}

z 变换的应用

Z 变换将一个离散时间信号（或系统）从时域转换到 Z 域，即复频域
在 Z 域中，可以更容易地分析系统的稳定性和频率特性，也可以用来求解线性时不变（LTI）系统的差分方程。

Z 变换有一些重要的性质和定理，
例如线性性质、时移性质、尺度变换性质、初值定理和终值定理等。利用这些性质，可以简化对离散时间信号和系统的分析。

Z 变换在数字信号处理中有着广泛的应用，如系统设计、滤波器设计、信号谱分析等。通过 Z 变换，可以将复杂的差分方程转换为简单的代数方程来求解，从而大大简化了计算过程。