傅里叶变换

Fourier Fransform FT

信号处理的本质

\begin{array}{r} f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} [f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \end{array}

\begin{aligned} F (ω) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- j ω t} d t = F [f (t)] \end{aligned}

\begin{aligned} f (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (ω) e^{j ω t} d ω = F^{- 1} [F (ω)] \end{aligned}

$F (ω)$ 和 $f (t)$ 构成一个 Fourier 变换对

在频谱分析中：
$F (ω)$ 称为 $f (t)$ 的频谱密度函数，也即频谱

对一个时间函数求 Fourier 变换，也就是求这个时间函数的频谱函数
也即：求积分表达式

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (ω) d ω = 2 π f (t) \end{array}

一般而言：
这里求积分表达式只需要把 $F (ω)$ 写为 $ω$ 的函数即可，不用再进行下去了
注意分段的表达
也要注意间断点处为左右极限的平均值

注意

计算傅里叶变换与逆变换时，
首先要根据定义计算

计算过程中，

傅里叶级数和傅里叶变换以不同形式反映了周期函数和非周期函数的频谱特性
将离散的频谱以连续频谱的方式表现出来，则需要借助冲激函数

\begin{array}{r} F [δ (t)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) e^{- i ω t} d t = e^{- i ω t} |_{t = 0} = 1 \end{array}

\begin{array}{r} F^{- 1} [1] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i ω t} d ω = δ (t) \end{array}

此时冲激函数的傅里叶变换仍然采用傅里叶变换的古典定义，但是反常积分是根据冲激函数的性质直接给出的，并非普通意义下的积分值
运用此概念可以将一些常见的函数进行傅里叶变换（尽管它们不满足绝对可积条件）

注意

由于冲激函数的引入，扩展了傅里叶变换的应用范围，并且统一了周期函数和非周期函数的积分表达
由经典的傅里叶积分得到的傅里叶变换一般需要“绝对可积”的条件，但是广义的傅里叶变换不一定需要“绝对可积”

\begin{aligned} F [δ (t)] & = 1 \\ F [1] & = 2 π δ (ω) \\ F [t^{n}] & = 2 π j^{n} δ^{(n)} (ω) \\ F [e^{j ω_{0} t}] & = 2 π δ (ω - ω_{0}) \end{aligned}

单位阶跃函数

u (t) = {\begin{cases} 1, t > 0 \\ 0, t < 0 \end{cases}

\begin{array}{r} F [u (t)] = \frac{1}{j ω} + π δ (ω) \end{array}

单边衰减指数函数

f (t) = {\begin{cases} e^{- a t} t \geq 0 \\ 0 t < 0 \end{cases}

\begin{array}{r} F [f (t)] = \frac{1}{a + j ω} \end{array}

\begin{aligned} F [c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x)] & = c_{1} F_{1} (ω) + c_{2} F_{2} (ω) \end{aligned}

\begin{array}{r} F [f (t \pm t_{0})] = e^{\pm i ω t_{0}} F (ω) \end{array}

\begin{array}{r} F^{- 1} [F (ω - ω_{0})] = e^{j ω_{0} t} f (t) \end{array}

\begin{array}{r} F [e^{\pm i ω_{0} x} f (x)] = F (ω \mp ω_{0}) \end{array}

\begin{array}{r} F [f (a x)] = \frac{1}{| a |} F (\frac{ω}{a}) \end{array}

\begin{aligned} F [f^{'} (x)] & = i ω F (ω) \\ F [f^{(n)} (x)] & = (i ω)^{n} F (ω) \end{aligned}

偏微分方程 $\overset{F T}{\to}$ 常微分方程 $\overset{F T}{\to}$ 代数方程

\begin{array}{r} F [\int_{x_{0}}^{x} f (ξ) d ξ] = \frac{1}{i ω} F (ω) \end{array}

\begin{array}{r} f_{1} (t) * f_{2} (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ \end{array}

\begin{aligned} F [f_{1} (x) * f_{2} (x)] & = F_{1} (ω) F_{2} (ω) \\ F [f_{1} (x) \cdot f_{2} (x)] & = \frac{1}{2 π} F_{1} (ω) * F_{2} (ω) \end{aligned}