拉普拉斯变换

Laplace Transform

将一个时域函数转换为复频域函数 $f (t) \to F (s)$
将微分方程变为代数方程

\begin{array}{r} F (s) = L {f (t)} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$s = σ + j ω$ ，当 $σ = 0$ 时为傅里叶变换

\begin{array}{r} L {f (t)} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) u (t) e^{- σ t} e^{j ω t} d t = F [f (t) u (t) e^{- σ t}] \end{array}

对 $f (t)$ 进行拉普拉斯变换，本质上是对 $f (t) u (t) e^{- σ t}$ 进行傅里叶变换

函数 $f (t)$ 满足：在 $t \geq 0$ 的任何有限区间上分段连续
当 $t \to \infty$ 时， $f (t)$ 具有有限的增长性，存在常数 $M > 0$ 以及 $c$ ，使得 $| f (t) | \leq M e^{c t} (0 \leq t < \infty)$

拉氏变换的收敛域 ROC: Region of convergence

\begin{aligned} L [e^{- a t}] & = \int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- s t} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- (a + σ) t} e^{- j ω t} d t \\ ∵ | e^{- j ω t} | & = | \cos ω t - i \sin ω t | = 1 \\ 不影响收敛性 \\ ∴ - (a + σ) & < 0 \to σ > - a \end{aligned}

\begin{aligned} L [e^{- a t}] & = \frac{1}{a + s} \\ L [1 (t)] & = \frac{1}{s} \\ L [δ (t)] & = 1 \\ L [t] & = \frac{1}{s^{2}} \\ L [t^{n}] & = \frac{n!}{s^{n + 1}} \\ L [\sin ω t] & = \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}} \\ L [\cos ω t] & = \frac{s}{s^{2} + ω^{2}} \\ L [e^{- a t} \sin ω t] & = \frac{ω}{(s + a)^{2} + ω^{2}} \\ L [e^{- a t} \cos ω t] & = \frac{s + a}{(s + a)^{2} + ω^{2}} \end{aligned}

$L [a f (t) + b g (t)] = a F (s) + b G (s)$

时间伸缩变换 加速或减缓仿真过程时间尺度
$L [f (t)] = F (s)$
$L [f (\frac{t}{a})] = a F (a s)$

时移性质： $L [f (t - t_{0})] = e^{- s t_{0}} F (s)$
频移性质： $L [e^{a t} f (t)] = F (s - a)$

时域微分

L [f^{(n)} (t)] = s^{n} F (s) - [s^{n - 1} f (0) + s^{n - 2} f^{'} (0) + \dots + f^{(n - 1)} (0)]

\begin{aligned} L [f^{'} (t)] & = s F (s) - f (0) \\ L [f^{″} (t)] & = s^{2} F (s) - [s f (0) + f^{'} (0)] \\ L [f^{‴} (t)] & = s^{3} F (s) - [s^{2} f (0) + s f^{'} (0) + f^{″} (0)] \end{aligned}

频域微分： $L [(- t)^{n} f (t)] = F^{(n)} (s)$

\begin{array}{r} L [\int_{0}^{t} f (τ) d τ] = \frac{1}{s} F (s) \\ L [\frac{f (t)}{t}] = \int_{s}^{\infty} F (u) d u \end{array}

初值定理： $f (0^{+}) = lim_{s \to \infty} s F (s)$
终值定理： $f (+ \infty) = lim_{s \to 0} s F (s)$
千万注意三角函数不能使用极限性质求稳态误差，注意极限性质应用的条件

收敛性：原函数 $f (t)$ 必须在 $t$ 趋于无穷大时收敛到一个有限值。这意味着原函数 $f (t)$ 在 $t$ 趋于无穷时不能有振荡或者无界的增长。
可导性：原函数 $f (t)$ 至少需要在 $t$ 的正半轴上可导，以保证其拉普拉斯变换 $F (s)$ 的存在。
拉普拉斯变换存在：原函数 $f (t)$ 的拉普拉斯变换 $F (s)$ 必须存在。这通常意味着 $f (t)$ 需要满足某些增长条件，使得拉普拉斯变换的积分收敛。
解析性：终值定理要求 $F (s)$ 在复平面上的右半部分是解析的，即 F(s) 在 Re(s)>0 时是解析函数。
无奇点：在 s 趋于 0 时，F(s) 不能有奇点，即 F(s) 在 $s = 0$ 附近的行为必须是良好的。

L [f (t) * g (t)] = F (s) G (s)

传递函数计算的基础：将卷积变为乘积

指数：
$L [e^{- a t}] = \frac{1}{a + s}$

\begin{aligned} L [e^{- a t}] & = \int_{0}^{\infty} e^{- (a + s) t} d t \\ = - \frac{1}{a + s} e^{(a + s) t} ∣_{0}^{\infty} \\ = \frac{1}{a + s} \end{aligned}

常数：
$L [C] = C \frac{1}{s}$

\begin{aligned} L [C] & = L [C e^{0 t}] \\ = C \frac{1}{s + 0} \\ = C \frac{1}{s} \end{aligned}

时移性质
假设 $t < 0$ 时 $f (t) = 0$
$L [f (t - t_{0})] = e^{- s t_{0}} F (s)$

\begin{aligned} L [f (t - t_{0})] & = \int_{0}^{\infty} f (t - t_{0}) e^{- s t} d t \\ = \int_{- t_{0}}^{\infty} f (τ) e^{- s (τ + t_{0})} d τ \\ = e^{- s t_{0}} \int_{0}^{\infty} f (τ) e^{- s (τ)} d τ \\ = e^{- s t_{0}} F (s) \end{aligned}

三角函数：
欧拉公式
$L [\sin a t] = \frac{a}{s^{2} + a^{2}}$

\begin{aligned} L [\sin a t] & = L [- \frac{i}{2} (e^{i a t} - e^{- i a t})] \\ = - \frac{i}{2} {L [e^{i a t}] - L [e^{- i a t}]} \\ = - \frac{i}{2} (\frac{1}{s - a i} - \frac{1}{s + a i}) \\ = - \frac{i}{2} (\frac{2 a i}{s^{2} + a^{2}}) \\ = \frac{a}{s^{2} + a^{2}} \end{aligned}

$L [\cos a t] = \frac{s}{s^{2} + a^{2}}$

\begin{aligned} L [\cos a t] & = L [\frac{1}{2} (e^{i a t} + e^{- i a t})] \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{s - i a} + \frac{1}{s + i a}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{2 s}{s^{2} + a^{2}}) \\ = \frac{s}{s^{2} + a^{2}} \end{aligned}

导数：
$L [f^{'} (t)] = s F (s)$

\begin{aligned} L [f^{'} (t)] & = \int_{0}^{\infty} f^{'} (t) e^{- s t} d t \\ = f (t) e^{- s t} ∣_{0}^{\infty} + s \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = - f (0) + s F (s) \\ L [f^{″} (t)] & = s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0) \\ L [f^{(n)}] & = s^{n} F (s) - [s^{n - 1} f (0) + s^{n - 2} f^{'} (0) + \dots + f^{(n - 1)} (0)] \end{aligned}

$L [(- t)^{n} f (t)] = F^{(n)} (s)$

\begin{aligned} F^{'} (s) & = \frac{d}{d s} \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = \int_{0}^{\infty} - t f (t) e^{- s t} d t \\ = L [- t f (t)] \end{aligned}