资金的等值计算

资金的时间价值

不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值
也即资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值

时间价值的表现形式：

利润/收益 Income/profit：资金投入生产或流通领域产生的增值
利息 Interset：资金存入银行或向银行贷款所得到或付出的增值额

时间价值的衡量尺度：

绝对尺度：利息或收益
相对尺度：利息率或收益率

利息：贷款人向借款人让渡资金使用权而得到的一种报酬
利率：一个计息周期内，利息总额与本金的比率

单利

以借款本金为计息基数，利息不再生息

F_{n} = P (1 + n i)

$F_{n}$ 本利和 $P$ 本金
$n$ 计息周期 $i$ 利率

复利

以本金与累计利息之和为计息基数

F_{n} = P (1 + i)^{n}

技术经济分析中时间价值一般采用复利法，充分反映资金的时间价值

不同计息周期的利率换算

（以年利率举例）
名义利率 r、计息周期 m、每一周期的计息利率 r/m

\begin{array}{r} 名 义 利 率 = 每 一 周 期 的 计 息 利 率 \times 一 年 内 计 息 周 期 次 数 \end{array}

实际 (有效) 利率 i
一年内获得的利息与年初本金之比计算的年利率
$实际利率＝ \frac{一年内按复利计息的利息总额}{年初本金}$

例子

月利率 1%
名义利率 12%
实际利率 $(1 + 1 %)^{12} - 1$
如果一年计息 m 次
$(1 + \frac{12 %}{m})^{m} - 1$

资金等值

通过等值计算，可以把不同时间点发生的资金金额换算到同一时间点进行价值比较
等值资金
在利率一定的条件下，
不同时间上绝对数额不等，
而经济价值相等的若干资金

折现 Discount
把将来某一时间点上的资金值换算到现在时间点上的等值资金值

注意

不一定是折现到期初，只是一个相对的概念，只要将之后时间点转换到前面的时间点就算是折现

折现率 Discount Rate i
资金等值计算中使用的反映资金时间价值的参数

现值 Present Value P
相对的概念，任意时刻都可作为现值
终值 Future Value F
与现值等价的在将来某时点的资金值
等年值/年金 Annual Value A
分期等额收支的资金值

使用复利系数表和现金流量图
带入系数公式计算
$未知量 = 已知量 (未知量 / 已知量, i, n)$

n 年标准形式：

一次收付

一次收付型：
分析系统的现金流量时，无论流入还是流出，
均在一个时间点 一次发生

$P \to F$
$F = P (1 + i)^{n}$ $F = P (F / P, i, n)$
$F \to P$
$P = \frac{F}{(1 + i)^{n}}$ $P = F (P / F, i, n)$

等额分付

多次支付
现金流入和现金流出在多个时间点上
等额分付
多次支付的一种形式
等额系列现金流
现金流序列连续，且数额相等

$A \to F$ 收付年金终值

等比数列求和
(n 年年末)

\begin{aligned} F & = A (1 + i)^{n - 2} + A (1 + i)^{n - 1} + \dots + A (1 + i) + A \\ = A \sum_{t = 1}^{n} (1 + i)^{n - t} \\ = A [\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}] \\ F & = A (F / A, i, n) \end{aligned}

(n 年年初)

$F = A (F / A, i, n) \times (1 + i)$
**

$F \to A$ 分付偿债基金

收付年金终值的逆运算
(n 年年末)

\begin{aligned} A & = F [\frac{i}{(1 + i)^{n} - 1}] \\ A & = F (A / F, i, n) \end{aligned}

(n 年年末)
$F = A (F / A, i, n) \times (1 + i)$

$A \to P$ 分付年金现值

\begin{aligned} P & = \frac{A}{(1 + i)} + \frac{A}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{A}{(1 + i)^{n - 1}} + \frac{A}{(1 + i)^{n}} \\ = \sum_{t = 1}^{n} \frac{A}{(1 + i)^{t}} \\ = A [\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i (1 + i)^{n}}] \\ = \frac{F}{(1 + i)^{n}} \\ P & = A (P / A, i, n) \end{aligned}

$P \to A$ 资本回收

年金现值的逆运算

\begin{aligned} A & = P [\frac{i (1 + i)^{n}}{(1 + i)^{n} - 1}] \\ A & = P (A / P, i, n) \end{aligned}

偿还贷款

graph LR 
偿还贷款 --> 等额利息 & 等额本金 & 等额本息 & 一次支付

等额本金：每年年末偿还固定的本金以及所欠利息
等额本息：每年年末等额偿还
等额利息 ：每年年末只偿还利息，最后一年年末还清本金
一次支付 ：最后一年年末一次偿还本息