对数函数

I. 实数意义

\begin{array}{r} \log_{b} (a) = c \leftrightarrow b^{c} = a \end{array}

$\log_{b} 1 = 0$ 恒过 $(1, 0)$

\begin{array}{r} \log_{b} (x y) = \log_{b} x + \log_{b} y \\ \log_{b} (x / y) = \log_{b} x - \log_{b} y \end{array}

换底公式：

\begin{array}{r} \log_{a} b = x, a^{x} = b \\ \log_{c} a^{x} = \log_{c} b \\ \log_{a} b \log_{c} a = \log_{c} b \end{array}

$\log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$
$\log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1$

$\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b$

$z = e^{w}$ 反函数 $w = f (z)$ 为对数函数
复数的指数表示：

\begin{aligned} z & = | z | e^{i A r g (z)} = e^{ω} \\ ω & = \ln | z | + i A r g (z) = L n z \end{aligned}

$L n z = \ln | z | + i A r g z$
$L n z$ 的主值： $\ln z = \ln | z | + i a r g z$
找准模和对应的辐角，不要在小细节处失误，画个图就好

多值性：
$A r g (z)$ 为多值函数, 所以 $L n z$ 也为多值函数
每两值相差 $2 π i$ 的整数倍
$L n z = \ln z + 2 k π i$ , 每一个值 $k$ 对应一个单值函数，称为分支

基本运算：实际上是辐角的性质，是集合意义上的相等
$L n (z_{1} \cdot z_{2}) = L n z_{1} + L n z_{2}$
$L n \frac{z_{1}}{z_{2}} = L n z_{1} - L n z_{2}$

注意

对数的基本性质是：集合意义上的相等
也即: $k = k_{1} + k_{2} k, k_{1}, k_{2} \in Z$
一般而言，对 $z$ 的幂次取对数不等同于幂次乘以 $z$ 的对数
$L n (z^{m}) \neq m L n (z)$

例子：
$L n (z)^{2} \neq 2 L n z$
$L n (z)^{2} = 2 \ln | z | + i (2 a r g ∠ z + 2 k π)$
$2 L n z = 2 \ln | z | + 2 i (a r g ∠ z + 2 k π)$

导数及解析性：除去负实轴及原点的复平面（幅角定义导致）处处连续，处处可导，处处解析
$(\ln z)^{'} = \frac{1}{z}$
$(L n z)^{'} = \frac{1}{z}$

$(\ln z)^{'} = \frac{1}{\frac{d e^{w}}{d w}} = \frac{1}{z}$