幂函数

Power Function

复数意义

定义

乘幂的定义：
$a^b=e^{Ln(a{)}^b}=e^{bLna}$
（利用指数函数与对数函数进行定义）

性质

多值性：
对数函数是多值的，所以乘幂也是多值的
$a^b=e^{bLna}=e^{b[\ln |a|+i(arg(a)+2k\pi )]}$

一般意义下有无数多个值
特殊情况：
$b$ 为整数时，具有单一的值
$b$ 为真分数时， $b={\displaystyle \frac{p}{q}}p、q\mathrm{互}\mathrm{质}$ 有 $q$ 个值，$k=0,1,2,\cdots ,q-1$

解析性：
$z^n$ 单值解析
$(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$

$z^{1/n}$ 有 n 个分支，
在除去负实轴和原点的复平面解析
$(z^{1/n}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{n}}{z}^{1/n-1}$

$b$ 为无理数或复数时，无穷多个值
在除去负实轴和原点的复平面解析
$(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}$

求 $(1+i{)}^{1-i}$ 的函数值及其主值

$k=0$ 得主值