孤立奇点

Isolated Singularity

函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，而在 $z_0$ 的某一去心邻域 $0<|z-z_0|<\delta$ 内处处解析
则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

孤立奇点的分类

根据孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类：

graph LR
孤立奇点-->分类 & 判定
分类--> 可去奇点 & 极点 & 本性奇点
判定 --> 1["根据定义：\n 洛朗级数展开"] & 2["极限判定：\n 求函数趋于孤立奇点的极限值"]

可去奇点

定义判定：
如果洛朗级数中不含 $z-z_0$ 的负幂项，
则孤立奇点为可去奇点

极限判定：
$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)$ 如果极限存在且为有限值，则为可去奇点

通过补充定义可以使得函数处处解析

极点

定义判定：
如果洛朗级数中只有有限多个 $z-z_0$ 的负幂项
且洛朗级数的负幂项的最高次幂为 $m$
$(z-z_0{)}^{-m}$
或者写成：
$f(z)={\displaystyle \frac{1}{(z-z_0{)}^m}}g(z)$，$g(z)$ 在 $z_0$ 处解析，且 $g(z_0)\ne 0$

则孤立奇点为 $m$ 级极点

极限判定：
$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=\mathrm{\infty }$，则为极点

本性奇点

定义判定：
含有无穷多个负幂项
则孤立奇点为本性奇点

极限判定：
$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)$ 极限不存在，也不为 $\mathrm{\infty }$，则为本性奇点

例如：$e^{1/z}$

零点

零点定义

不恒等于 0 的解析函数 $f(z)$ 如果能表示成： $f(z)=(z-z_0{)}^m\phi (z)$
$\phi (z)$ 在 $z_0$ 解析且 $\phi (z_0)\ne 0$，$m$ 为正整数，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 级零点

零点的判定

$f(z)$ 在 $z_0$ 解析
$m$ 级零点的充要条件：

由高阶导数的求导易知：幂级数展开的最低幂次的次数即 为零点的级数

$z=0$ 是 ${\displaystyle \frac{e^z}{z(1-\cos z)}}$ 的？
注意到 $z=0$ 使得分母的 $z(1-\cos z)$ 都为 0，
但是只能初步判断极点的级数大于等于 2，而不一定就为 2
转为零点阶数判断
$(z(1-\cos z){)}^{\prime }=1-\cos z+z\sin z$ $z=0$ 时，一阶导数为 0
$(z(1-\cos z){)}^{″}=\sin z+\sin z+z\cos z$ $z=0$ 时，二阶导数为 0
$(z(1-\cos z){)}^{‴}=2\cos z+\cos z-z\sin z$ $z=0$ 时，三阶导数不为 0
所以综上，$z=0$ 是原函数的三级极点

零点与极点的关系

如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 级极点/零点，则 $z_0$ 就是的 $m$级零点/极点

可以将讨论极点转化为讨论零点

无穷远点

$f(z)$ 在无穷远点 $z=\mathrm{\infty }$ 的去心邻域 $R<\left|z\right|<+\mathrm{\infty }$ 内解析
则称 $\mathrm{\infty }$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

变换：
$t={\displaystyle \frac{1}{z}}\to f(z)=\phi (t)$
$R<\left|z\right|<+\mathrm{\infty }\to 0<\left|t\right|<{\displaystyle \frac{1}{R}}$
$t=0$ 对应 $\phi (t)$ 的极点类型等价于 $z=\mathrm{\infty }$ 对应 $f(z)$ 的极点类型

对于洛朗级数展开的幂项
极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(z)$

• 可去奇点
  • 不含正幂项
  • 极限存在且为有限值
• m 级极点
  • 含有有限多个正幂项，$z^m$ 为最高次幂
  • 无穷大
• 本性奇点
  • 无穷多的正幂项
  • 极限不存在且不为无穷大

例题

1.函数