柯西积分公式

Cauchy's Integral Formula

一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示

由柯西积分定理得：积分值 $I$ 只与 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 点附近的值有关，对 $0 < ρ < ρ_{0}$ 的任何 $ρ$ 成立:

I = \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = \oint_{C_{ρ}} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z

柯西积分公式：函数 $f (z)$ 在区域 $D$ 内处处解析， $C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 $D$ ， $z_{0}$ 为 $C$ 内的任一点，则有：

\begin{aligned} f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z \\ \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = 2 π i \cdot f (z_{0}) \end{aligned}

$C : z = z_{0} + R \cdot e^{i θ}$

\begin{aligned} f (z_{0}) & = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z \\ = \frac{1}{2 π i} \int \frac{f (z_{0} + R e^{i θ})}{R e^{i θ}} R e^{i θ} \cdot i d θ \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + R e^{i θ}) d θ \end{aligned}

\begin{aligned} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z & = \oint_{K} \frac{f (z)}{z - z_{0}} \\ = \oint_{K} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z + \oint_{K} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} d z \\ ∣ \oint_{K} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} ∣ & \leq \oint_{K} \frac{| f (z) - f (z_{0}) |}{| z - z_{0} |} d s < \frac{ε}{R} \oint_{K} d s = 2 π ε \end{aligned}