解析

#Function

Holomorphic
若 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 及 $z_{0}$ 的邻域内处处可导，则称 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处解析
如果函数在某点处不解析，则为奇点

函数解析是在一个区域上的性质

在区域内解析等价于在区域内可导
在一点处可导不一定在该点处解析

解析函数

复变函数研究的主要对象

若 $f (z)$ 在区域 $D$ 内的每一点内处解析，则称 $f (z)$ 在 $D$ 内解析， $f (z)$ 是 $D$ 内的解析函数（全纯函数、正则函数）

研究函数解析性

利用导数的定义，判断是否可导，再利用解析的定义

注意奇点要重点讨论说明
一般 $\overset{―}{z} | z |$ 的不解析

例子： $k$ 的任意性，极限不存在，函数处处不可导、不解析
$\frac{\overset{―}{Δ z}}{Δ z} = \frac{Δ x - i Δ y}{Δ x + i Δ y} = \frac{1 - i \frac{Δ y}{Δ x}}{1 + i \frac{Δ y}{Δ x}} = \frac{1 - i k}{1 + i k}$

解析的充要条件

由复变函数的定义知：一个复变函数相当于一对二元实变函数

柯西黎曼条件

函数解析的充要条件
Cauchy-Riemann 柯西-黎曼方程/ C-R 方程
$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} & = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}

1. 在某点处可导

$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$
在 $z = x + i y$ 处可导的充分必要条件是：
$u (x, y)$ 和 $v (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，并且满足 C-R方程

$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在 $z = x + i y$ 点处的导数公式：

\begin{array}{r} f^{'} (z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} \end{array}

只是在某一点处的导数公式，没有要求函数在此点解析
调和函数中使用此来不定积分，求解析函数 $f (z)$

2.在区域内解析

$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$
在区域 $D$ (定义域)内解析的充分必要条件是：
$u (x, y)$ 和 $v (x, y)$ 在 $D$ 内处处可微，并且满足 C-R 方程

注意

首先要判断实部和虚部的函数 $u (x, y), v (x, y)$ 是否可微（可导）
再判断是否满足 C-R 方程

等价条件

如果 $f (z)$ 在区域 $D$ 内解析，以下条件彼此等价：

\begin{aligned} v = u^{2} \\ f^{'} (z) = 0 \\ \overset{―}{f (z)} 解 析 \\ R e = [f (z)] = C \\ I m [f (z)] = C \\ a r g f (z) = C \\ f (z) = C \\ | f (z) | = C \end{aligned}