解析函数的高阶导数

柯西积分公式的推广

\begin{aligned} f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z \\ \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = 2 π i \cdot f (z_{0}) \end{aligned}

高阶导数公式： $C$ 为在函数 $f (z)$ 的解析区域 $D$ 内围绕 $z_{0}$ 的任何一条正向简单闭曲线，且它的内部全含于 $D$ ，它的 $n$ 阶导数为：

\begin{aligned} f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{(n + 1)}} d z \\ \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{(n + 1)}} d z = \frac{2 π i}{n!} f^{(n)} (z_{0}) \end{aligned}

实际应用一般是通过求导数算积分

意义

与实变函数的重要区别：函数 $f (z)$ 只要在闭区域内处处可微，它就一定无限次可微，并且各阶导数均为闭区域上的解析函数

重要结论：解析函数的导数仍为解析函数 （也即: 一个函数如果为解析函数，则有无限次导数的连续性）