偏导数

Partial Derivative

\begin{aligned} f_{x} (x_{0}, y_{0}) & = \frac{\partial f}{\partial x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x} \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) & = \frac{\partial f}{\partial y} = lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y} \end{aligned}

实际上求偏导数不需要新的方法，实际上只有一个变量在变动，可以将其他变量固定下来，以一元函数的导数来求解

偏导数的记号是一个整体的记号，不能理解为分子和分母之商。

对于 $f_{x} (x_{0}, y_{0})$ 表示：曲面 $z = f (x, y)$ 被平面 $y = y_{0}$ 所截得的曲线在点 $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。

即使在某个点出各阶偏导数都存在，也不能保证函数在该点处连续，因为偏导数存在只保证了：从坐标轴趋于某点时，极限值等于函数值，而没有保证按任何方式趋于该点的极限值等于函数值。

二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) & = \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = f_{x x} (x, y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) & = \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = f_{y y} (x, y) \\ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) & = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{x y} (x, y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) & = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = f_{y x} (x, y) \end{aligned}