全微分

Total differential
一元函数的微分可以将函数的偏增量表示为偏微分的形式:

\begin{array}{r} f (x + Δ x, y) - f (x, y) \approx f_{x} (x, y) Δ x \\ f (x, y + Δ y) - f (x, y) \approx f_{y} (x, y) Δ y \end{array}

函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义
如果函数的全增量： $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y)$
可以表示为： $Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ) = d z + o (ρ)$

$A, B$ 为不依赖 $Δ x, Δ y$ 的常数, $ρ = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$
则称函数 $f (x)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分

\begin{array}{r} lim_{ρ \to 0} Δ z = 0 \Rightarrow lim_{ρ \to 0} f (x + Δ x, y + Δ y) = f (x, y) \end{array}

多元函数微分的叠加原理：多元函数的全微分可以表示为各个变量的偏微分之和
$z = f (x, y)$ $u = g (x, y, z)$

\begin{matrix} d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y \\ d u = \frac{\partial u}{\partial x} d x + \frac{\partial u}{\partial y} d y + \frac{\partial u}{\partial z} d z \end{matrix}