微分中值定理

Mean Value Theorem for Derivatives

建立了导数和函数之间的关系

费马引理 Fermat

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导
如果对任意的 $x\in U(x_0)$ 有 $f(x)\le f(x_0)(\mathrm{或}f(x)\ge f(x_0))$
$\Rightarrow$ 那么 $f^{\prime }(x_0)=0$
通常称导数为 0 的点为 驻点/稳定点/临界点

一、罗尔定理 Rolle

直观理解：如果区间端点的函数值相等，则在区间内部必定可以找到斜率为零的点

如果函数 $f(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a,b]$ 上 连续
• 在开区间 $(a,b)$ 上 可导*
• 在区间端点处的函数值相等 $f(a)=f(b)$
  $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

二、拉格朗日中值定理 Lagrange

直观理解：罗尔定理的一般化，几何意义就是区间内存在一点的切线斜率等于区间端点连线的斜率。

如果函数 $f(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a,b]$ 上 连续
• 在开区间 $(a,b)$ 上 可导*
  $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$, 使得等式成立：

微分中值定理/有限增量定理： 在区间 $[x,x+\mathrm{\Delta }x]$ 上，如果将 $f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ 写为 $\mathrm{\Delta }y$，定理给出了自变量取得有限增量 $\mathrm{\Delta }x$ 时，函数增量 $\mathrm{\Delta }y$ 的准确表达式：

实际上，从数值计算方法的角度看，也是龙格-库塔法的核心思想之一

三、柯西中值定理 Cauchy

如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a,b]$ 上 连续
• 在开区间 $(a,b)$ 上 可导*
• 对任一 $x\in (a,b)$ , $F^{\prime }(x)\ne 0$
  $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$, 使得：

微分中值定理的实际应用

构造辅助函数，基本思路都是构造辅助函数，满足所需的条件

定积分