曲面积分

Surface Integral

空间曲面的两类积分

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

曲面的质量，标量场积分

基本定义

\iint_{Σ} f (x, y, z) d S = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ S_{i}

实际计算

\begin{array}{r} \iint_{Σ} f (x, y, z) d S = \iint_{D_{x y}} f [x, y, z (x, y)] \sqrt{1 + z_{x}^{2} (x, y) + z_{y}^{2} (x, y)} d x d y \end{array}

实际计算时化为二重积分进行计算

换域：朝自变量所在趋于进行投影（积分区域变为 $D_{x y}$ ）
换元： $z \to z (x, y)$
换面积元素： $d S \to \sqrt{1 + z_{x}^{2} (x, y) + z_{y}^{2} (x, y)} d x d y$

注意投影选择不同，积分元素和积分变量的代换也不同
$D_{x y} z (x, y) \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2}} d x d y$
$D_{y z} x (y, z) \sqrt{1 + (\frac{\partial x}{\partial y})^{2} + (\frac{\partial x}{\partial z})^{2}} d y d z$
$D_{x z} y (x, z) \sqrt{1 + (\frac{\partial y}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial y}{\partial z})^{2}} d x d z$

二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

流向曲面一侧的流量，向量场的通量积分

基本定义

曲面的方向：对于双侧曲面，可以通过曲面上的法向量的指向定义曲面的侧，指定方向的曲面称为有向曲面。对于有向曲面，取一小块 $Δ S$ ，将其投影到 $x O y$ 平面上得到 $(Δ σ)_{x y}$ 有：

(Δ S)_{x y} = {\begin{cases} (Δ σ)_{x y} & \cos γ > 0 \\ - (Δ σ)_{x y} & \cos γ < 0 \\ 0 & \cos γ \equiv 0 \end{cases}

\begin{array}{r} \iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} R (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ (S_{i})_{x y} \\ \iint_{Σ} P (x, y, z) d y d z = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} P (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ (S_{i})_{y z} \\ \iint_{Σ} Q (x, y, z) d x d z = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} Q (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ (S_{i})_{x z} \end{array}

\begin{array}{r} Φ = \iint_{Σ} A \cdot d S = \iint_{Σ} P (x, y, z) d y d z + \iint_{Σ} Q (x, y, z) d x d z + \iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y \end{array}

流量向量函数： $A = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))$
有向曲面 $Σ$ 的单位法向量： $n = (\cos α, \cos β, \cos γ)$
有向曲面元：即为流体流向有向曲面同一侧的流量

{\begin{cases} d S \cdot \cos α = d y d z \\ d S \cdot \cos β = d x d z \\ d S \cdot \cos γ = d x d y \end{cases} \Rightarrow d S = n d S = (d y d z, d z d x, d x d y)

实际计算

实际计算时化为二重积分进行计算

投影：寻找投影区域进行投影, 如 $x O y$
代换：确定投影的积分区域 $Σ \to D_{x y}$
确定方向：根据曲面的方向确定积分的正负号

注意有向曲面元的方向：

\begin{aligned} \iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y & = \iint_{D_{x y}} R [x, y, z (x, y)] d x d y & \cos γ > 0 \\ \iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y & = - \iint_{D_{x y}} R [x, y, z (x, y)] d x d y & \cos γ < 0 \end{aligned}

投影区域可以转换：

\begin{array}{r} \frac{d x d y}{\cos γ} = \frac{d x d z}{\cos β} = \frac{d y d z}{\cos α} = d S \end{array}

\begin{array}{r} \iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y = \iint_{D_{y z}} R (x (y, z), y, z) \frac{\cos γ}{\cos α} d y d z \end{array}

三、两类曲面积分的关系

\begin{array}{r} \iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{Σ} (P \cos α + Q \cos β + R \cos γ) d S \end{array}