数理统计

Statistics

研究思路：用局部推断整体, 由少数已发生的事件对随机现象的整体进行推断 (注意都建立在独立同分布的假设上)

一、数理统计的基本概念

研究对象：总体和样本
样本构造的函数： 统计量
统计量的分布：抽样分布
正态总体统计量的分布特征
重要概念：上分位点

二、参数估计

参数估计的思想：总体的分布模型 $f(x;\theta )$ 已知，但模型参数 $\theta$ （向量或标量）未知，只能根据样本提供的信息对模型参数作出合理的推断（估计）

估计量：通过样本 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 构造一个适当的统计量 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 作为参数 $\theta$ 的估计，称统计量 $\hat{\theta }$ 为参数 $\theta$ 的估计量
如果 $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_m{)}^T$ 为一个向量
则需要构造 $m$ 个统计量 ${\hat{\theta }}_i(X_1,X_2,\cdots ,X_n)(i=1,2,\cdots ,m)$

参数空间：$\mathrm{\Theta }$ $\theta$ 的可能取值范围

点估计：使用单个数值来估计总体参数
估计量的评选标准
参数的点估计并不唯一
评选标准用于衡量估计量的优劣

区间估计
参数的点估计只是一个可能的结果，没有提供估计精度的信息
而区间估计给出了有关于估计精度的信息

三、假设检验

Hypothesis Testing
根据样本信息检验关于总体的某个假设是否正确的决策过程
假设检验的思想
正态总体的假设检验

• 区间估计是得到估计量的取值范围
• 假设检验是接受原假设（知道估计量的值），来与分位点的大小进行比较
  看是否落入拒绝域中，来确定是否接受假设

四、方差分析与回归分析

方差分析
线性回归
回归