总体和样本

对于特定的研究目的而言

总体： Population
研究对象的全体构成的一个集合
总体与随机变量密切联系，总体就是随机变量的概率分布
如果研究对象是某个指标 $X$，且 $X$ 有分布函数 $F(x)$
则可以将 $X$ 的所有可能取值的全体看作总体，
进而称该总体为具有分布函数 $F(x)$ 的总体
特殊的总体：正态总体、指数总体...

正态总体

• 数据分布符合正态分布

个体：
总体中的每个基本单元

抽样:
用样本对总体进行可靠的统计推断
抽样的方法有多种

随机抽样： Random Sampling
按机会均等原则从总体中选取某些个体进行观测或测试的过程

样本： Sample
从总体中随机抽取 n 个个体 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 构成样本 （子样）

• n 为样本容量
• 观测到的 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的一组确定的值 $(x_1,x_2,..,x_n)$ 为样本值
  $(x_1,x_2,..,x_n)$ 是一次随机试验的结果，也即一个样本点
• $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的一切可能的结果的全体构成一个样本空间

简单随机抽样:
得到样本为简单样本
性质： 独立同分布

1. 代表性:
   $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 与 $X$ 的总体具有相同的分布
   $E(X_i)=E(X)D(X_i)=D(X)$
   (指每一个个体被抽取的机会相等)

2. 独立性:
   $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的随机变量
   $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\sum _{i=1}^{n}E(X)=nE(X)$
   (观测结果在过程中互不影响)

简单随机抽样为有放回抽样