统计量

Statistic

对样本信息进行数学上的变换处理
构造出新的数学概念来分析和获取有效信息来全面刻画总体的统计规律性

利用样本的函数进行统计推断

统计量：
样本 $X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}$ 的函数
完全由样本决定的量，不依赖任何未知参数的随机变量，也即 $n$ 个随机变量的函数
利用统计信息构造统计量
统计量的分布为抽样分布

与随机变量的数字特征有所关联

样本均值：

\overset{―}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

样本方差：

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2} = \frac{1}{n - 1} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - n (\overset{―}{X})^{2})

注意

样本方差公式中的分母是 $n - 1$ 而不是 $n$ ,
$n - 1$ 可以提供对总体方差的无偏估计。
当样本量较小时，这种调整尤其重要，因为它可以减少估计的偏差
这种调整被称为贝塞尔校正（Bessel's correction）

样本标准差：

\begin{array}{r} S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2}} \end{array}

样本 k 阶原点矩：

\begin{array}{r} A_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k} \end{array}

样本 k 阶中心矩：

\begin{array}{r} B_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{k} \end{array}

样本相关系数：

\begin{array}{r} r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X}) (Y_{i} - \overset{―}{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - \overset{―}{Y})^{2}}} \end{array}

样本均值和样本方差尤其重要

总体 $X$ 的分布函数 $F (X)$ 存在二阶矩，有 $E (X) = μ, D (X) = σ^{2}$
$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为总体的一个样本

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X}) & = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n \overset{―}{X} \\ = n \frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n} - n \overset{―}{X} \\ = n \overset{―}{X} - n \overset{―}{X} = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} E (\overset{―}{X}) & = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X) \\ = \frac{1}{n} n μ = μ \end{aligned}

\begin{aligned} D (\overset{―}{X}) & = D (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} D (X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} D (X) \\ = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n} \end{aligned}

\begin{aligned} E (S^{2}) & = E [\frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - n \overset{―}{X^{2}}]] \\ = \frac{n}{n - 1} [E (X^{2}) - E (\overset{―}{X^{2}})] \\ = \frac{n}{n - 1} {D (X) + [E (X)]^{2} - D (\overset{―}{X}) - E (\overset{―}{X})^{2}} \\ = \frac{n}{n - 1} {D (X) + [E (X)]^{2} - \frac{D (X)}{n} - [E (X)^{2}]} \\ = D (X) = σ^{2} \end{aligned}